Сопротивление материалов (стр. 10 )

Пример решения

РАЦИОНАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ СЖАТОЙ СТОЙКИ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ

Стойка из стального прокатного двутавра, сжата силой F и имеет заданную расчётную схему.

Требуется:

1.Поменять заданное сечение на составное сечение из двух элементов с общей площадью, не превышающей площадь двутавра.

2.Определить грузоподъёмность стойки в обоих вариантах.

3.Сравнить допускаемые нагрузки и сделать вывод о более рациональном сечении сжатой стойки.

Расчётные схемы

Исходные данные

Шифр	Номер двутавра	l м	R МПа	γc
31-5	30	3,1	200	0,95

Решение

Заданная стойка изготовлена из двутавра № 30 с геометрическими характеристиками

A = 46,5 см2, ix = 12,3 см, iy = 2,69 см.

Из этих данных можно заключить, что двутавр является нерациональной формой сечения при продольном нагружении стойки с возможной потерей устойчивости. Его материал распределён так, что один из радиусов инерции (iy) значительно меньше другого. В двух плоскостях хОz и yOz критические силы будут существенно различаться, т. е. стойка не является равноустойчивой в указанных плоскостях, что ведёт к недоиспользованию прочностных свойств материала. По этим причинам предлагается перераспределить материал, не увеличивая площади сечения (значит, не увеличивая расхода), на два стандартных элемента: швеллер и стальную полосу. Толщина полосы задана, второй размер выберем таким образом, чтобы осевые моменты сечения впоследствии оказались примерно одинаковыми, т. е. Jx Jy. Примем его равным 19 см. Её площадь сечения легко вычисляется

А1 = 19·1 = 19 см2.

По условию задачи

А2 ≤ А – А1 =46,5 – 19 = 27,5 см2.

Из сортамента берём швеллер № 22 с площадью сечения

А2 = 26,7 см2.

Составное сечение с необходимыми размерами в более крупном масштабе

показано на рис. 2. Здесь x0, y0 – координатные оси, относительно которых будут отыскиваться координаты центра тяжести. Ось х-ов совпадает с осью

симметрии сечения и потому является одной из главных центральных осей. Остальные обозначенные оси являются собственными осями элементов сечения.

Два варианта стойки будем сравнивать по их грузоподъёмности, т. е. по величине допускаемых нагрузок. Перейдём к их определению.

Допускаемое значение силы должно удовлетворять условию устойчивости

σ =

Отсюда

F = [F] = R γc A. (1)

Рассмотрим два намеченных варианта сечения.

1.Двутавр. Коэффициент приведения длины определяется в зависимости от условий закрепления концов стержня и равен

μ = 1.

Коэффициент продольного изгиба φ зависит от гибкости

R=200 МПа
λ
40	0,906
50	0,869
· · ·	· · ·
110	0,537
120	0,479

Приведём фрагмент таблицы для коэффициента продольного изгиба стали при R= 200 МПа. Отсюда по линейной интерполяции для гибкости 115,2 получим

Подставим в (1) и вычислим

[F]2 = 0,507·200·106·0,95·46,5·10-4 = 474439 Н = 474,4 кН.(2)

2.Составное сечение. В этом случае потребуется подробное вычисление геометрических характеристик. Сначала рассмотрим каждый элемент отдельно.

Полоса.

А1 = 19 см2, х1 =19/2=9,5 см,

J= .

Швеллер №24. Возьмём данные из таблицы: «Швеллеры стальные горячекатаные (ГОСТ 8240 – 89)»

А2 = 26,7 см2, х2 = -2,21 см, J= 2110 см4, J= 151 см4,

Вычислим геометрические характеристики составного сечения.

Площадь

A = A1 + А2 = 19 + 26,7 ·= 45,7 см2.

Координата центра тяжести

Расстояние между параллельными осями y и y1, y и y2

a1 = хС - х1= 2,66 – 9,5 = -6,84 см, a2 = хС - х2= 2,66 +2,21 = 4,87 см.

Осевые моменты инерции

Jx = J + J = 1,58 + 2110 = 2112 см4,

Моменты инерции оказались примерно одинаковыми, поэтому ранее назначенный размер полосы 19 см корректировать не будем. В противном случае пришлось бы его уточнять, пытаясь добиться примерного равенства осевых моментов инерции. При этом, естественно, были бы повторены все предыдущие вычисления.

Радиусы инерции

ix = см, iy = см.

Полученные радиусы инерции имеют близкие значения, из чего следует, что это сечение будет примерно равноустойчивым по отношению к осям x и у. Минимальный радиус инерции

imin = ix=6,8 см

значительно превосходит радиус инерции двутавра, что приведёт к существенному увеличению грузоподъёмности стойки.

Определим гибкость стержня

λ =

Такой гибкости соответствует коэффициент продольного изгиба

Тогда допускаемая нагрузка по (1) имеет значение

(3)

Разница в процентах между двумя значениями допускаемой нагрузки (2) и (3) большая и составляет в процентах

Данный результат показывает, что правильные выбор типа сечения и компоновка элементов составных сечений имеют существенное значение для повышения эффективности использования материала конструкции.

Задача 22

РАСЧЁТЫ НА УДАР

На упругую стальную раму круглого поперечного сечения диаметра d с высоты h падает груз массой m. Модуль упругости материала Е = 200 ГПа, ускорение свободного падения g = 9,81 м/сек2. Определить наибольшее нормальное напряжение в сечениях и вертикальное перемещение точки удара. Проверить прочность.

Массу упругой системы не учитывать, влиянием поперечных и продольных сил на величину перемещений пренебречь.

Второе число шифра	m кг	h см	a м	b м	d см	R МПа	γс
1	90	10	1,3	1,7	6,15	180	0,85
2	85	9	1,1	1,6	6,2	200	0,95
3	80	8	1,2	1,9	6,3	170	0,80
4	75	10	1,1	1,8	6,4	190	0,90

Пример решения

РАСЧЁТЫ НА УДАР

На упругую стальную раму круглого поперечного сечения диаметра d с высоты h падает груз массой m. Модуль упругости материала Е = 200 ГПа, ускорение свободного падения g = 9,81 м/сек2. Определить наибольшее нормальное напряжение в сечениях и вертикальное перемещение точки удара. Проверить прочность.

Массу упругой системы не учитывать, влиянием поперечных и продольных сил на величину перемещений пренебречь.

Расчётная схема Исходные данные

Шифр	m кг	h см	a м	b м	d см	R МПа	γс
31-5	80	10	1,3	1,8	6,0	180	0,9

Решение

Динамические перемещения и напряжения определяются по формулам

,

где kд – динамический коэффициент, Δс - статическое перемещение, σс -статическое напряжение. Динамический коэффициент вычисляется по формуле

kд = .

Очевидно, что необходимо определить Δс. С этой целью к заданной раме прикладываем в месте удара статическую силу (силу тяжести массы m)

F = mg = 80 · 9,81 = 784,8 Н.

и строим от неё эпюру изгибающих моментов

Изгибающий момент в сечении А MА= F а = 784,8 · 1,3 = 1020 Нм. То же самое выполняется для единичной силы

Определяем геометрические характеристики поперечного сечения. Осевой момент инерции

J = ,

осевой момент сопротивления

.

Вычислим статические перемещение и напряжение

Теперь находим динамический коэффициент

,

динамическое перемещение

и динамическое напряжение

.

Условие прочности имеет вид

.

Отсюда вывод: «прочность рамы обеспечена».

ЛИТЕРАТУРА

1.Александров материалов - М.: Высшая школа, 2000. –560 с.

2. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. - М.: изд. Ассоц. строит. вузов, 1995. –572 с.

3. и др. Сборник задач по сопротивлению материалов. - М.: Наука, 1984. –407 с.

4.Дарков материалов. М., 19c.

5., , Руководство к решению задач по сопротивлению материалов - М.: Высшая школа, 1999. –592 с.

6. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов –М: Высшая школа, 1985. –399 с.

7.Саргсян материалов, теории упругости и пластичности. М., 20с.

8.Сопротивление материалов. Под ред. М., 20с.

9.Феодосьев материалов. - М.: изд. МГТУ, 19с.

10., , Трошин материалов – М: Изд. МАИ, 2000. –616 с.

11.Сайт кафедры теоретической и прикладной механики:

http://kafedratpm. *****

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие…………………………………………………………..	3
Общие указания по выполнению заданий………………………….	4
Задачи и примеры решений…………………………………………..	6
Задача 10. Подбор сечения стальной балки при прямом поперечном изгибе……………………………………………………	6
Задача 11. Проверка прочности деревянной балки при прямом поперечном изгибе…………………………………………………….	11
Задача 12. . Определение грузоподъёмности чугунной балки при прямом поперечном изгибе………………………………..	17
Задача 13. Прямой поперечный изгиб балки………………………	23
Задача 14. Косой изгиб балки……………………………………….	31
Задача 15. Внецентренное сжатие короткого стержня………………	37
Задача 16. Статически неопределимая балка………………………	44
Задача 17. Плоское напряжённое состояние в точке и прочность…	51
Задача 18. Объёмное напряжённое состояние в точке и прочность..	55
Задача 19. Расчёт бруса на прочность при сложном сопротивлении.	59
Задача 20. Расчёт стойки на устойчивость по допускаемым напряжениям………………………………………………………	66
Задача 21. Рациональное сечение сжатой стойки при продольном изгибе………………………………………………………………	71
Задача 22 Расчёты на удар……………………………………………	78
Литература……………………………………………………………..	83