Сопротивление материалов (стр. 7 )

ОБЪЁМНОЕ НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ И ПРОЧНОСТЬ

В некоторой точке упругого тела для объёмного напряжённого состояния заданы: компоненты тензора напряжений sх, sу, sz, txy, tyz, tzx; расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие Rр, Rс; коэффициент условий работы γc. Требуется:

1.Написать тензор напряжений.

2.Изобразить напряжённое состояние в виде кубика с указанием координатных осей и напряжений, приложенных к его граням.

3.Вычислить инварианты напряженного состояния J1, J2, J3 и записать характеристическое (кубическое) уравнение.

4.Используя специализированную систему компьютерной математики МАТLАB, определить главные напряжения s1, s2, s3 и направляющие косинусы для каждой главной площадки lk, mk, nk ( k = 1, 2, 3).

5.Сравнить главные напряжения с нормальными напряжениями заданного напряжённого состояния.

6.Показать на рисунке главные направления.

7.Выбрать теорию прочности, соответствующую данному материалу, и найти эквивалентное напряжение.

8.Проверить прочность.

Исходные данные

Шифр	sх МПа	sу МПа	sz МПа	txy МПа	tyz МПа	tzx МПа
31-5	40	-10	50	-25	15	20

Шифр	Rр МПа	Rс МПа	γc
31-5	100	200	0,85

Решение

1) Тензор напряжений

Ts=

sх tyx tzx txy sy tzy txz tyz sz

=

40 -25 20 20 15 50

МПа.

2) Напряжённое состояние в точке.

Показываем элементарный параллелепипед (кубик) в системе координатных осей x, y, z. При изображении напряжений с помощью стрелок учитываются их знаки, данные в тензоре напряжений. На рисунке относительные толщины линий должны быть следующими: оси – тонкие линии, ребра параллелепипеда – толще, стрелки напряжений – толстые.

3) Инварианты напряжённого состояния.

J1 = sх + sу + sz = 40 – 10 + 50 = 80 МПа,

Характеристическое уравнение в общем виде

s3 - J1s2 + J2s - J3 = 0.

Оно же с учётом найденных численных значений инвариантов

s3 - 80ss + 71250 = 0.

4) Главные напряжения и направляющие косинусы главных направлений.

Результаты решения на ЭВМ характеристического уравнения и определения направляющих косинусов главных площадок даны в таблице

Номера главных площадок k	sk МПа	lk	mk	nk
1	65,84	0,6487	-0,0638	0,7584
2	40,73	-0,6414	0,4905	0,5899
3	-26,57	-0,4097	-0,8691	0,2773

5) Сравнение с заданными нормальными напряжениями.

Максимальное главное напряжение существенно превосходит самое большое из заданных напряжений, т. е.

s1 > sх.

Минимальное главное напряжение также намного меньше самого меньшего из заданных нормальных напряжений, т. е.

s3 < sу.

6) Главные направления напряжений.

По направляющим косинусам главных напряжений на рис. 2 показаны главные направления, некоторые координаты, взятые из таблицы.

7.Эквивалентное напряжение.

Материал, применяемый в данном случае, является пластичным, но имеет разные пределы текучести при растяжении и сжатии. Поэтому для определения эквивалентного напряжения подходящей является гипотеза пластичности Мора. Вычисляем по соответствующей формуле

Здесь отношение расчётных сопротивлений

k = = 160 / 320 = 0,5.

Следовательно

sэкв = 65,84 – 0,5(-26,57) = 79,12 МПа.

8) Проверка прочности.

Условие прочности имеет вид

sэкв ≤ Rр γc.

Подставляя числа, получим

79,12 ≤ 100·0,85 = 85.

Отсюда следует, что прочность в данной точке тела обеспечена.

Задача 19

РАСЧЁТ БРУСА НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

Дан плоскопространственный консольный брус из двух стержней с ломаным очертанием осевой линии. Сечение одного стержня круглое с диаметром d, сечение другого стержня прямоугольное с заданным соотношением сторон h/b. Стержни перпендикулярны между собой, Силы направлены перпендикулярно стержням или вдоль их осей, пары сил (моменты) лежат в плоскостях, перпендикулярных одному из стержней.

Требуется:

1. Построить эпюры N, Qx, Qy, Mx, My, Mк в аксонометрии.

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий Nz, Mx , My и Mz (касатель­ными напряжениями от Qx и Qy  пренебречь).

4. Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить размеры поперечного сечения d, b, h.

Указание. Ориентацию прямоугольного сечения относительно координатных осей выбирает студент.

Второе число шифра	м	a м	b/h cм	F1 кН	F2 кН	M кНм	Rр МПа	Rс МПа	γc
1	1,0	0,6	1,5	10	8	7	180	180	0,90
2	0,8	0,5	1,75	7	5	6	80	200	1,00
3	1,1	0,7	1,5	9	7	6	17	1,6	0,85
4	0,7	0,4	1,75	6	4	5	90	220	0,95

Пример решения

РАСЧЁТ БРУСА НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

Дан плоскопространственный консольный брус из двух стержней с ломаным очертанием осевой линии. Сечение одного стержня круглое с диаметром d, сечение другого стержня прямоугольное с заданным соотношением сторон h/b. Стержни перпендикулярны между собой, Силы направлены перпендикулярно стержням или вдоль их осей, пары сил (моменты) лежат в плоскостях, перпендикулярных одному из стержней.

Требуется:

1. Построить эпюры N, Qx, Qy, Mx, My, Mк в аксонометрии.

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий Nz, Mx , My и Mz (касатель­ными напряжениями от Qx и Qy  пренебречь).

4. Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить размеры поперечного сечения d, b, h.

Исходные данные

Шифр	м	a м	b/h cм	F1 кН	F2 кН	Rр МПа	Rс МПа	γc
31-5	1,1	0,6	1,75	9	6	170	170	0,95

Расчётная схема Решение

Заданы расчётные значения сопротивления материала и нагрузок. Для проверки прочности балки потребуются максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях. Поэтому необходимо построить соответствующие эпюры.

Искомые размеры поперечных сечений зависят от внутренних сил. Поэтому займёмся их определением с помощью метода сечений. Чтобы не вычислять специально опорные реакции, в методе сечений будем рассматривать отсечённые части, не включающие заделку. Рассмотрим каждый участок отдельно.

Участок BC. Отсечённая часть представлена на рис. 2. Показаны координатные оси и внутренние силы. Направления последних избираются произвольно, их действительные направления далее даются решениями уравнений. Составим уравнения равновесия и найдём из них внутренние силы

Во всех ответах получены положительные знаки, и это означает, что фактические направления внутренних сил совпадают с заранее показанными на рисунке 1.

Участок CD. Отсечённая часть представлена на рис. 3. Как и в предыдущем случае составим уравнения равновесия, и найдём внутренние силы

Для продольной силы получен знак минус, и это означает, что направление стрелки противоположно изображённому на рисунке 3, т. е. участок CD работает на сжатие.

По результатам вычислений построены эпюры N, Qy, Mx и Mк, показанные на рисунке 4. Внутренние силы Qx и My тождественно равны нулю.

Перейдём к определению размеров поперечных сечений стержня. Расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие равны между собой. Значит, наиболее подходящей теорией прочности является энергетическая теория прочности.

Участок BС подвергается прямому поперечному изгибу. При пренебрежении поперечной силой (значит, и касательными напряжениями) здесь расчёт должен проводиться в опасном сечении по нормальному напряжению, так как напряжённое состояние получается линейным (одноосным). Опасным сечением является сечение С с максимальным изгибающим моментом Мх = 3,6 кНм. Независимо от применяемой теории прочности условие прочности по первому предельному состоянию имеет вид

(1)

где Wх – осевой момент сопротивления поперечного сечения. Вычислим его по известной формуле для круга

Теперь условие прочности (1) после подстановок принимает вид

Решая, получим d = 6,1 см.

Участок СD находится в условиях сложного сопротивления, так как в его сечениях действуют сжимающая продольная сила, изгибающий момент, крутящий момент и поперечная сила (рис. 5), влиянием которой пренебрегаем, и поэтому не показываем. Опасным является сечение D, в котором сочетаются наибольшие значения N, Mx, Mк. Анализ рисунка показывает, что опасной точкой является Е, где суммируются сжимающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента, и одновременно действует касательное напряжение от крутящего момента. Здесь создаётся плоское напряжённое состояние, условие прочности которого по энергетической теории имеет вид

(2)

Выпишем площадь и моменты сопротивления прямоугольного сечения при изгибе и кручении

Здесь α =0,239 – табличный коэффициент для прямоугольного сечения при h/b = 0,75. Нормальное и касательное напряжения в точке Е будут

η = 0,82 - табличный коэффициент для прямоугольного сечения при h/b = 0,75, учитывающий, что точка Е находится в середине короткой стороны прямоугольника.

Вычислим правую часть условия прочности (2)

Rрγс = 170·0,95 = 161,5 МПа =161,5·103 кПа.

После подстановок условие прочности (2) принимает вид

(3)

Записанное в виде равенства оно представляет собой уравнение с неизвестным b. Определение его корня точными методами затруднительно и требует громоздких преобразований и вычислений. Поэтому применим простой метод итераций (последовательных приближений). С этой целью дробь в подкоренном выражении, содержащую b2, преобразуем, умножив числитель и знаменатель на b.

После несложных преобразований уравнение принимает вид

(4)

Итерационный процесс организуем по формуле, вытекающей из (4)

(5)

Для начала примем, что b1 = 0, и далее проведём вычисления, следуя (5). Итоги счёта в табличной форме

k	1	2	3	4	5
b, см	0	4,5	4,52	4,523	4,523

Вычисления прекращаются, так как заметного уточнения b, уже не происходит. Принимаем, что b= 4,52 см. Из условия задачи находим второй размер h = 1,75b = = 1,75·4,52 = 7,91 см.