Сопротивление материалов (стр. 4 )

3) Построить ядро сечения.

Второе число шифра	Точка приложения силы	Rр МПа	Rс МПа	γc
1	B	1,5	3,1	1,00
2	C	1,4	3,0	0,90
3	D	1,3	3,2	0,95
4	E	1,6	3,3	0,85

Пример решения

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ КОРОТКОГО СТЕРЖНЯ

Короткий бетонный брус, поперечное сечение которого задано, сжимается силой F, приложенной в одной из точек В, С, D, E.

Требуется:

1) Вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения в поперечном сечении, выразив их через величину сжимающей силы F.

2) Из условия прочности бруса найти допускаемую нагрузку [F] при заданных расчётных сопротивлениях бетона на растяжение Rр и сжатие Rс.

3) Построить эпюру нормальных напряжений.

3) Построить ядро сечения.

Исходные данные

Шифр	Точка приложения силы	Rр МПа	Rс МПа	γc
31-5	B	1,4	3,1	0,95

Поперечное сечение Решение

Заданы расчётные сопротивления бетона на растяжение и сжатие и геометрические размеры бруса. Необходимо определить грузоподъёмность, т. е. установить максимальное расчётное значение нагрузки. Для его вычисления воспользуемся условиями прочности бруса из хрупкого материала, имеющего разные расчётные сопротивления на растяжение (Rр) и сжатие (Rc).

(1)

(2)

Определим геометрические характеристики сечения, необходимые для расчётов. Данное сечение состоит из двух элементов: полукруга и прямоугольника (рис. 1). На более крупном рисунке (рис. 2) обозначим их номерами 1 и 2, наметим центры тяжести для каждого соответственно: C1, C2. Проведём через них координатные оси, собственные для каждого элемента и обозначим их: y1, x, y2. Ввиду симметричности фигуры, горизонтальные центральные оси обоих элементов совпадают и такая общая ось является центральной для всего сечения. По этой причине введена только одна ось х – ов. Нанесём на чертёж основные размеры.

Поскольку центр тяжести сечения лежит на оси х - ов, нет необходимости в отыскании его координаты yС. Для вычисления второй координаты xC проведём вспомогательную ось y0.

Предварительно определим геометрические характеристики для каждого элемента, необходимые для последующих вычислений.

1.Полукруг. Площадь сечения

,

координата центра тяжести С1 в системе осей ху0

х1 = 20 – 0,424r = 20 – 0,424·20 = 11,52 см.

Осевые моменты инерции

2.Прямоугольник. При аналогичных обозначениях

Общая площадь сечения

A = A1 + A2 = 628 + 420 = 1048 см2.

Координата центра тяжести сечения

По этим значениям на рис. 2 намечаем точку С и через неё проводим центральную ось у. Ввиду того, что ось х – ов является осью симметрии, оси х, у являются главными осями инерции.

Расстояния между параллельными вертикальными осями х - х1, х - х2

Главные осевые моменты инерции относительно центральных осей

Квадраты главных центральные радиусов инерции определяются по формулам

Координаты точки приложения силы совпадают с координатами точки В

Положение нулевой линии определим с помощью отрезков, отсекаемых ею на координатных осях

Эти отрезки откладываются на координатных осях, и проводится нулевая линия (рис. 3). Её угловой коэффициент равен

k = tgα = - y0/х0 = -6/(-5) = 1,2, .

Уравнение нулевой линии имеет вид

у = 1,2х + 6.

Для построения эпюры нормальных напряжений необходимо определить точки, наиболее удалённые от нулевой линии, и вычислить напряжения в них. С этой целью проведём линии, касательные к контуру сечения и параллельные нулевой линии. Искомыми точками являются B и D. Прямая OD перпендикулярна нулевой линии и проходит через центр окружности.

Координаты точки B уже определены, координаты точки D найдём по чертежу

xD = 20 - xC -20·sin α = -13,1 см, yD = 20·cos α = 12,8 см.

Нормальные напряжения в точках В и D будут

(5)

(6)

Знак минус перед F в формуле учитывает, что внецентренно приложенная сила является сжимающей. В точке В получено сжимающее, а в точке D – растягивающее напряжения, что соответствует условиям задачи.

Условие прочности по растягивающим напряжениям (1) даёт значение силы

Проведём аналогичные вычисления по сжимающим напряжениям по условию (2)

Меньшее из двух значений силы является грузоподъёмностью или несущей способностью балки

[F] = F1 = 37 кН.

Подставим полученное значение силы в формулы (5), (6) и получим

Соответствующая эпюра напряжений показана на рис. 3.

Строим ядро сечения. Для этого выбираем достаточное количество положений нулевой линии (с учётом симметрии сечения стойки), которые располагаем по касательным к контуру. В рассматриваемом примере имеется пять таких положений, показанных на чертеже. Каждому положению нулевой линии соответствует конкретная точка приложения силы (xF, yF), в то же время являющаяся точкой границы ядра сечения. Определим их координаты.

1)  Нулевая линия 1 – 1. Она отсекает на координатных осях отрезки с длинами

x0 = - xC = -17,7 см, y0 = .

Точка приложения силы имеет координаты

На рис. 4 она обозначена как точка 1.

2)  Нулевая линия 2 – 2

Этой нулевой линии соответствует точка контура ядра сечения 2.

3)  Нулевая линия 3 – 3.

Этой линии соответствует точка 3.

4)  Нулевая линия 4 – 4 является прямой, проходящей через две заданные точки G(2,3; 20) и H(16,3; 15). Она описывается соответствующим уравнением

(7)

Поочерёдно приравнивая одну из координат к нулю, найдём координаты, отсекаемые на осях

Этой линии соответствует точка 4.

5)Нулевая линия 5 – 5, x0 = 16,3 см, y0 = .

Этой линии соответствует точка 5.

Изображаем полученные точки и соединяем их линиями (рис. 4). Если при переходе от одного положения нулевой линии к соседнему положению она поворачивается вокруг одной точки (например, от 3 – 3 к 4 – 4), то линия перемещения силы (т. е. граница ядра сечения) есть прямая (через точки 3 и 4). В остальных случаях (например, поворот от 1 – 1 к 2 – 2 и далее к 3 – 3) сила перемещается по кривой границе ядра сечения (1-2-3). Другую половину ядра сечения строим, используя его свойство симметрии (точки 2', 3', 4').

Задача 16

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ БАЛКА

Для заданной статически неопределимой балки из стального прокатного двутавра.

Требуется:

1.Определить степень статической неопределённости.

2.Раскрыть статическую неопределённость с помощью метода сил.

3. Из расчета на прочность по допускаемым напряжениям подобрать номер стального двутавра.

4.Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.

5.Вычислить прогибы на границах и в серединах участков.

6.Построить кривую изогнутой оси балки по результатам вычислений и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов.

Модуль упругости материала Е = 200 ГПа.

Второе число шифра	м	a м	b м	F кН	M кНм	q кН/м	[σ] МПа
1	3,2	1,9	1,1	80	160	40	250
2	3,4	1,7	0,9	90	150	50	280
3	3,3	1,6	0,8	100	170	60	260
4	3,1	1,8	1,0	110	180	70	270

Пример решения

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМАЯ БАЛКА

Для заданной статически неопределимой балки из стального прокатного двутавра.

Требуется:

1.Определить степень статической неопределённости.

2.Раскрыть статическую неопределённость с помощью метода сил.

3.Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.

4.Вычислить прогибы на границах и в серединах участков.

5.Построить кривую изогнутой оси балки по результатам вычислений и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов.

Модуль упругости материала Е = 200 ГПа.

Исходные данные

Шифр	м	a м	b м	F кН	M кНм	q кН/м	[σ] МПа
31-5	3,2	1,8	1,0	90	160	60	250

Решение

Данная балка (рис. 1а) статически неопределима, потому что количество опорных реакций равно четырём (три – в заделке, одна - в шарнирно подвижной опоре), а уравнений равновесия – три. Степень статической неопределённости, таким образом, равна единице. Будем раскрывать статическую неопределённость с помощью метода сил. Соответствующее каноническое уравнение имеет вид

(1)

Здесь X1 - реакция отбрасываемой связи. В качестве такой связи примем шарнирно неподвижную опору. Основная система принимает вид геометрически неизменяемой консоль-ной балки с защемлённым правым концом (рис.1б).

Прикладываем к основной сис-теме заданную нагрузку и неизвест-ную опорную реакцию Х1 в отбро-шенной связи и получаем эквивален-тную систему рис. 1в. Уравнение (1) является математическим выраже-нием факта, что перемещение в направлении неизвестной силы X1 должно равняться нулю, поскольку в месте её приложения на самом деле имеется опора, не позволяющая балке перемещаться.

Для решения уравнения необходимо сначала найти коэффициент и свободный член. Они представляют собой перемещения в направлении силы X1 от единичной силы и нагрузок. Отсюда следует, что необходимо построить эпюры изгибающих моментов от этих сил. Влияние продольных и поперечных сил на величину перемещений весьма незначительное, поэтому они не учитываются в вычислениях.

Эпюры изгибающих моментов построены по их значениям в отдельных характерных точках балки A, B, C, D, G, H, K. Они вычисляются с помощью метода сечений несложным путём и поэтому соответствующие выкладки здесь не приводятся. Результатом действий являются расчётные схемы 1г, 1е и эпюры, соответствующие им 1д, 1ж. В последних соблюдается правило построения эпюр, по которому ординаты откладываются со стороны растянутых волокон.

Теперь приступим к определению перемещений, включённых в уравнение (1). По правилу Верещагина

.

Расчётная схема

По формуле Симпсона

Подстановка в уравнение (1) и сокращение на EJ даёт

42,67X= 0,

Решая, получим

X1 = 144,2 кН.

Знак плюс в ответе показывает, что направление силы Х1 совпадает с изображённым на рис. 1в.

Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях проведём вычисления для сечений, отмеченных на рис.1а.

QA=-F = -90 кН, QC = -F - q·b = ·1 = -150 кН,

QD= - F - q·b + X1= ·1 + 144,2 = -5,8 кН, QG = QH = QK = -5,8 кН.

Для вычисления изгибающих моментов воспользуемся их ранее вычисленными значениями и принципом независимости действия сил, т. е. формулой

M = MF + X1.

В соответствии с ней

MA= 0, MB = - 52,5 кНм, MC= MD = -120 кНм,

MG = -390 + 1,8· 144,2 = 130,4 кНм, MH = - 230 + 1,8·144,2 = 29,6 кНм,

MK = - 710 + 5·144,2 = 11,1 кНм.

По результатам вычислений построены эпюры Q и M, показанные на рис. 1з, 1и.

Теперь перейдём к подбору сечения. Опасным сечением является сечение с максимальным изгибающим моментом Мmax = 130,4 кНм. Требующийся номер двутавра найдётся из условия прочности допускаемым напряжениям, которое имеет вид

(2)

где W – искомый осевой момент сопротивления поперечного сечения. Определим его из (2)

.

Подберём двутавр, соответствующий такому значению момента сопротивления.

По таблице сортамента наиболее подходящим является двутавр №33 с осевым моментом сопротивления W = 597 см3, осевым моментом инерции J = 9840 см4.

Для определения угловых и линейных перемещений сечений воспользуемся методом начальных параметров. Введём координатную систему zy c началом на левом конце балки. Общие формулы для определения перемещений имеют вид

(3)

(4)

где θ(z), v(z) - угол поворота и прогиб произвольного сечения балки, θ0, v0 - угол поворота и прогиб в начале координат. Начало координат здесь совпадает с со свободным концом балки. Поэтому θ0 и v0 являются неизвестными величинами. М, F, q - нагрузки, причем положительными являются: момент по часовой стрелке, сосредоточенная сила, направленная вверх, равномерно распределённая нагрузка, направленная вверх, zМ, zF - абсциссы точек приложения момента и сосредоточенной силы, zq - абсцисса начала распределенной нагрузки. В формулу включаются лишь те нагрузки, которые находятся левее сечения, для которого вычисляются перемещения. Для непосредственного пользования формулами (3), (4) необходимо определить θ0 и v0. Для этого надо воспользоваться тем, что правый конец балки защемлён, и его угол поворота, вычисляемый по (3) при z = a + b + = 6 м, должен равняться нулю. Отсюда следует

При составлении уравнения слагаемые для сосредоточенной силы и распределённой нагрузки учтены дважды. В первом случае учтено, что левее рассматриваемого сечения действуют две силы: F и опорная реакция X1. Во втором случае учтено, что распределённая нагрузка q прерывается в точке С, расположенной левее рассматриваемого сечения K, что не допускается в методе начальных параметров. Поэтому распределённая нагрузка продлена до конца балки (см. пунктир на рис. 1а), и для сохранения эквивалентности расчётной схемы к ней приложена нагрузка противоположного направления. При подстановке в формулу числа преобразованы так, чтобы единицы измерения совпадали с основными единицами системы СИ. Знак плюс в ответе означает, что левый конец балки поворачивается против часовой стрелки.

Второй параметр v0 найдётся из условия, что прогиб в точке С над опорой также равен нулю

(5)

Отсюда получим

Теперь формулы метода начальных параметров (3), (4) готовы для вычислений перемещений в любой точке балки. Необходимо лишь помнить, что в их правых частях должны учитываться только нагрузки, расположенные левее рассматриваемого сечения.

Результаты проведённых вычислений для прогибов сведены в таблицу

z, м	0,0	0,5	1,0	1,9	2,8	4,4	6,0
v, см	-1,00	-0,47	0,00	0,48	0,45	0,09	0,00

По этим данным построена кривая изогнутой оси, показанная на рис. 1к. Отметим, что кривая направлена выпуклостью вверх на участке балки, где изгибающий момент отрицательный, и - вниз, где изгибающий момент положительный. На правом конце касательная к кривой горизонтальна, что соответствует равенству нулю угла поворота сечения балки в защемлении.