Сопротивление материалов (стр. 2 )

Пример решения

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ ДЕРЕВЯННОЙ БАЛКИ ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Заданы раcчётные схемы и исходные данные к прямому поперечному изгибу деревянных балок прямоугольного поперечного сечения.

Требуется проверить прочность по первому предельному состоянию.

Исходные данные

Шифр	м	a м	c м	b см	h см	F кН	q кН/м	R МПа	Rs МПа	γc
31-5	2,0	1,2	0,6	11	20	13	11	16	1,7	0,95

Расчётная схема Решение

Заданы расчётные значения сопротив-ления материала и нагрузок. Для проверки прочности балки (рис. 1) потребуются максимальные значения поперечной силы и изгибающего момента в сечениях. Поэтому необходимо построить соответствующие эпюры.

Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении внутренних сил понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Целесообразно сначала составить такое уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку О и составим уравнение

Опорную реакцию R1 найдём из второго уравнения равновесия

Далее приступаем к определению внутренних сил Q и М в сечениях балки с помощью метода сечений. Разобьём балку по длине на 3 участка и обозначим их. Рассмотрим каждый участок отдельно. Проведём внутри них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3.

1 участок z [0; а]

Для этого участка (рис. 2) целесообразно рассмотреть левую отсечённую часть балки, так как к ней приложено меньше нагрузок, и это повлечёт меньший объём вычислений. Покажем оси y, z, переменное расстояние z, точку С, поперечную силу Q, изгибающий момент М. Для внутренних сил здесь и далее избираются положительные направления, что позволяет получить ответы, учитывающие установленные правила знаков. Получим их из уравнений равновесия. Первое из них даёт поперечную силу

,

Эта величина постоянная, т. е. не зависит от z, поэтому на первом участке эпюра Q является горизонтальной прямой линией.

Cоставим второе уравнение равновесия и найдём изгибающий момент

, ,

Изгибающий момент в сечениях является линейной функцией z, поэтому потребуются как минимум две точки для построения эпюры. Найдём значения на концах участка

По этим результатам строим эпюру изгибающих моментов первого участка в виде прямой линии.

2 участок z [0; l]

Рассмотрим левую отсечённую часть балки (рис. 3). Укажем на схеме оси y, z, точку D, поперечную силу Q, изгибающий момент М.

Поперечную силу находим из уравнения равновесия

Эпюра Q на втором участке является горизонтальной прямой линией.

Воспользуемся уравнением равновесия для определения изгибающего момента

,

Поскольку эпюра является прямолинейной, найдём значения лишь на концах участка

3 участок z [0; с]

Для этого участка целесообразнее использовать правую отсечённую часть. Указываем на схеме оси y, z, точку Е, поперечную силу Q, изгибающий момент М.

Составим уравнение равновесия и определим из него поперечную силу.

, (1)

Получена линейная функция, поэтому находим два значения поперечной силы

Теперь найдём изгибающие моменты.

В третьем участке эпюра оказалась криволинейной (квадратная парабола). Поэтому вычисления проведены для трёх точек.

По результатам вычислений построены эпюры M и Q, показанные на рис. 1.

Перейдём к проверке прочности балки. Опасным сечением является сечение с максимальным изгибающим моментом Мmax = 10,49 кНм. Условие прочности по первому предельному состоянию имеет вид

(1)

где W – осевой момент сопротивления поперечного сечения. Вычислим его по известной формуле для прямоугольника

Подстановка чисел приводит условие (1) к неравенству

Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена.

У дерева расчётное сопротивление на скалывание незначительное, поэтому требуется отдельная проверка прочности по касательным напряжениям. В этом случае наиболее опасным является сечение с наибольшей поперечной силой. Для прямоугольного поперечного сечения соответствующее условие записывается в виде

(2)

Численные подстановки в (2) дают

Очевидно, что условие прочности выполняется.

По итогам двух проверок приходим к общему выводу, что прочность балки в целом обеспечена.

Задача 12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУЗОПОДЪЁМНОСТИ ЧУГУННОЙ БАЛКИ

ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Заданы раcчётные схемы и исходные данные к прямому поперечному изгибу чугунных балок.

Требуется определить грузоподъёмность из расчёта на прочность по первому предельному состоянию.

Второе число шифра	м	a м	b cм	h cм	c cм	Rр МПа	Rс МПа	γc
1	1,8	0,9	11	9	2	50	150	1,00
2	1,6	0,7	12	8	3	55	160	0,90
3	1,5	0,8	10	7	2	60	155	0,95
4	1,7	1,0	13	8	3	65	165	0,85

Пример решения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУЗОПОДЪЁМНОСТИ ЧУГУННОЙ БАЛКИ

ПРИ ПРЯМОМ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

Заданы раcчётные схемы и исходные данные к прямому поперечному изгибу чугунных балок.

Требуется определить грузоподъёмность из расчёта на прочность по первому предельному состоянию.

Исходные данные

Шифр	м	a м	b cм	h cм	c cм	Rр МПа	Rс МПа	γc
31-5	1,7	0,6	12	8	3	60	160	0,9

Расчётная схема Решение

Заданы расчётные сопротивления чугуна на растяжение и сжатие и геометрические размеры балки (рис. 1). Необходимо определить грузо-подъёмность балки, т. е. установить максимальные расчётные значения нагрузок. Для их вычисления воспо-льзуемся условиями прочности балки из хрупкого материала, имеющего разные расчётные сопротивления на растяжение (Rр) и сжатие (Rc).

(1)

(2)

Искомые расчётные нагрузки должны удовлетворять обоим условиям прочности.

Опасным является сечение с максимальным значением изгибающего момента Мmax. Для его определения необходимо построить эпюру изгибающих моментов. Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении изгибающих моментов понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Сначала составим уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку О и составим уравнение

Опорную реакцию R1 найдём из второго уравнения равновесия

Поскольку к балке не приложена распределённая нагрузка, для построения эпюры достаточно вычислить значения изгибающих моментов в характерных сечениях. Изгибающий момент в сечении А и во всех сечениях консольной части

По результатам вычислений построена эпюра M, показанная на рис. 1.

Перейдём к определению осевых моментов сопротивления для растянутых и сжатых волокон заданного поперечного сечения балки. Данное сечение состоит из двух прямоугольников (рис. 1). На более крупном рисунке (рис. 2) обозначим их номерами 1 и 2, наметим центры тяжести для каждого соответственно: C1, C2. Проведём через них координатные оси, собственные для каждого элемента и обозначим их: x1, y, x2. Ввиду симметричности фигуры, вертикальные центральные оси обоих элементов совпадают и такая общая ось является центральной для всего сечения. По этой причине введена только одна ось y – ов. Нанесём на чертёж основные размеры.

Поскольку центр тяжести сечения лежит на оси y - ов, нет необходимости в отыскании его координаты хС. Для вычисления второй координаты yC проведём вспомогательную ось x0.

Предварительно определим геометрические характеристики для каждого элемента, необходимые для последующих вычислений.

Прямоугольник 1. Площадь сечения

,

координата центра тяжести С1 в системе осей x0y

Осевой момент инерции

Прямоугольник 2. При аналогичных обозначениях

Общая площадь сечения

A = A1 + A2 = 24 + 54 = 78 см2.

Координата центра тяжести сечения

По этим значениям на рис. 2 намечаем точку С и через неё проводим центральную ось х. Ввиду того, что ось у – ов является осью симметрии, оси х, у являются главными осями инерции.

Расстояния между параллельными горизонтальными осями х - х1, х - х2

Главный осевой момент инерции относительно центральной оси

Осевые моменты сопротивления определяются путём деления Jx на расстояния и от центральной оси х до крайних растянутых и сжатых волокон соответственно

Условие прочности по растягивающим напряжениям (1) принимает вид

Отсюда

Аналогичные вычисления проведём по прочности сжатых волокон

Меньшее из двух значений силы является грузоподъёмностью или несущей способностью балки

F = 15,49 кН.

При таком значении силы сосредоточенный момент, приложенный к балке, равен

M = Fa = 15,49 · 0,6 = 9,29 кНм.

Задача 13

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ ПРИ ИЗГИБЕ

Заданы размер l, нормативные нагрузки Fн, Mн, qн, предел текучести материала sт и коэффициенты надёжности γfF, γfM, γfq, γm, γc, γn.

Требуется:

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.

2. Из расчёта по предельным состояниям подобрать прокатный двутавр, размеры поперечного сечения в виде круга и прямоугольника с заданным соотношением сторон h/b.

3. По максимальному значению поперечной силы определить касательные напряжения на нейтральной оси и проверить прочность.

4. Сравнить варианты балки по расходу материала и выбрать наиболее оптимальное сечение.

Второе число шифра	м	h/b	Fн кН	Mн кНм	qн кН/м	sт МПа	γfF	γfM	γfq	γm	γc	γn
1	2,5	1,9	10	50	12	300	1,10	1,15	1,35	1,05	0,80	0,85
2	2,4	1,5	9	40	10	320	1,05	1,10	1,30	1,15	0,90	1,10
3	2,2	2,0	12	60	15	340	1,15	1,20	1,25	1,10	0,85	1,15
4	2,3	1,8	8	50	14	260	1,20	1,25	1,40	1,05	0,95	1,00