Сопротивление материалов (стр. 3 )

Пример решения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ ПРИ ИЗГИБЕ

Заданы размер l, нормативные нагрузки Fn, Mn, qn, предел текучести материала sт и коэффициенты надёжности γfF, γfM, γfq, γm, γc, γn.

Требуется:

1. Построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.

2. Из расчёта по предельным состояниям подобрать прокатный двутавр, размеры поперечного сечения в виде круга и прямоугольника с заданным соотношением сторон h/b.

3. По максимальному значению поперечной силы определить касательные напряжения на нейтральной оси и проверить прочность.

4. Сравнить варианты балки по расходу материала и выбрать наиболее оптимальное сечение.

Исходные данные

Шифр	м	h/b	Fн кН	Mн кНм	qн кН/м	sт МПа	γfF	γfM	γfq	γm	γc	γn
31-5	2,6	1,7	12	50	13	360	1,15	1,10	1,35	1,15	0,9	1,0

Расчётная схема Решение

Заданы нормативные значения сопротивления материала и нагрузок. Расчётные значения нагрузок получим, умножая нормативные величины на коэффициент надёжности по нагрузке:

F = Fн γfF = 12 · 1,15 = 13,8 кН,

M = Mн γfM = 50 · 1,2 = 60 кНм,

q = qн γfq = 13 · 1,35 = 17,55 кН/м.

Нормативное сопротивление равно пределу текучести, т. е. = sT = 360 МПа. Расчётное сопротивление материала будет

Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении внутренних сил понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Целесообразно сначала составить такое уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку В и составим уравнение

,

Разделим все слагаемые на l и найдём

Составим второе уравнение равновесия

,

Отсюда

= - 13,8 + 2·17,55·2,6 – 48,55 = 28,91 кН.

Далее приступаем к определению внутренних сил Q и в сечениях балки с помощью метода сечений. Разобьём балку по длине на 3 участка и обозначим их. Рассмотрим каждый участок отдельно. Проведём внутри них произвольные сечения 1-1, 2-2, 3-3.

1 участок z [0; ]

Целесообразно рассмотреть левую отсечённую часть балки (рис. 2), так как к ней приложено меньше нагрузок, и это повлечёт меньший объём вычислений. Покажем оси y, z, переменное расстояние z, точку С, поперечную силу Q, изгибающий момент . Для внутренних сил здесь и далее избираются положительные направления, что позволяет получить ответы, учитывающие установленные правила знаков. Они заключаются в том что, положительные поперечные силы создают момент по часовой стрелке относительно отсечённой части, положительные изгибающие моменты растягивают нижние волокна. Получим их из уравнений равновесия. Первое из них даёт поперечную силу

,

Эта величина постоянная, т. е. не зависит от z, поэтому на первом участке эпюра Q является горизонтальной прямой линией.

Cоставим второе уравнение равновесия и найдём изгибающий момент

, ,

При составлении этого уравнения момент силы относительно точки С, направленный по часовой стрелке принят со знаком плюс. Но это вовсе не обязательно. Мог быть принят и знак минус, и был бы получен тот же результат. Изгибающий момент в сечениях является линейной функцией z, поэтому потребуются как минимум две точки для построения эпюры. Найдём значения на концах участка

,

По этим результатам строим эпюру изгибающих моментов первого участка в виде прямой линии.

2 участок z [0; l]

Рассмотрим левую отсечённую часть балки (рис. 3). Укажем на схеме оси y, z, точку D, поперечную силу Q, изгибающий момент .

Поперечную силу находим из уравнения равновесия

.

Поперечная сила является линейной функцией координаты сечения. Необходимо находить значения в двух точках

Строим эпюру для этого участка.

Воспользуемся уравнением равновесия для определения изгибающего момента

,

Полученный результат свидетельствует, что эпюра изгибающих моментов на этом участке является криволинейной, поэтому необходимо иметь три её точки. Очевидно, что две точки целесообразно иметь на концах участка. Положение же третьей точки не совпадает с серединой участка и должно быть установлено специально. Дело в том, что поперечная сила в некотором сечении этого участка обращается в нуль, и из этого следует, что изгибающий момент в нём является экстремумом функции изгибающего момента. В этом месте поперечная сила меняет знак с плюса на минус, поэтому экстремум является конкретно максимумом. Чтобы установить положение этого сечения, приравняем поперечную силу к нулю

.

Отсюда имеем

Подставим это значение в (2) и найдём максимум функции изгибающего момента на этом участке

кНм.

Для построения эпюры находим ещё изгибающие моменты в концевых сечениях

.

Строим соответствующую эпюру по трём значениям в виде кривой линии.

3 участок z [0; l]

Для этого участка целесообразнее использовать правую отсечённую часть (рис. 4). Указываем на схеме оси y, z, точку Е, поперечную силу Q, изгибающий момент .

Составим уравнение равновесия и определим из него поперечную силу.

, Q – qz + R2 = 0, (1)

Получена линейная функция, поэтому находим два значения поперечной силы

Q(0) = -48,55 кН,

Второе значение совпадает с результатом для данного сечения, полученным во втором участке.

Теперь найдём изгибающие моменты.

, ,

(2)

Найдём три точки эпюры.

По результатам вычислений построены эпюры M и Q, показанные на рис. 1.

Теперь перейдём к подбору сечений. Опасным сечением является сечение с максимальным изгибающим моментом Мmax = 127,1 кНм. Требующиеся размеры поперечных сечений и номер двутавра найдутся из условия прочности, которое имеет вид

(1)

где W – искомый осевой момент сопротивления поперечного сечения. Определим его из (1)

.

Определим сечения, соответствующие такому значению момента сопротивления.

Двутавр.

По таблице сортамента наиболее подходящим является двутавр №30 с осевым моментом сопротивления W = 472 см3, осевым моментом инерции J = 7080 см4, площадью сечения АД = 46,5 см2, статическим моментом полусечения S = 268 см3, с толщиной стенки d = 0,65 см.

Проверим прочность по касательным напряжениям. В сечении с наибольшей поперечной силой должно выполняться условие

(2)

Здесь Rs – расчётное сопротивление материала балки при сдвиге, b – ширина сечения на уровне нейтрального слоя, т. е. b = d = 0,65 см. Для стали в данной балке

Rs= 0,6R = 0,6·313 = 187,8 МПа.

Подставляя численные значения в (2), получим

Очевидно, что условие прочности выполняется.

Прямоугольник.

Осевой момент сопротивления прямоугольника вычисляется по формуле

Приравнивая его к найденному выше значению, находим

Высота сечения и его площадь составляют

h = 1,7 · 9,78 = 16,6 см, AП = 9,78 · 16,6 = 162,6 см2.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

(3)

Численные подстановки в (3) дают

Условие прочности выполняется.

Круг.

Аналогично находим диаметр и площадь сечения.

Проверим условие прочности по касательным напряжениям

(4)

Подставляя числа, имеем

Условие прочности (4) выполняется.

Соотношения между найденными площадями имеют вид

АД :АП : АК = 1 : 3,5 : 4,66.

Поскольку расход материала прямо зависит от площади поперечного сечения балки, отсюда следует, что балка из двутавра является наиболее оптимальной. Её площадь сечения многократно меньше, чем в остальных случаях.

Задача 14

КОСОЙ ИЗГИБ БАЛКИ

Задана балка, изготовленная из двух стальных швеллеров с расчётным сопротивлением материала R.

Построить эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях; установить положение наиболее опасного сечения, найти нейтральную линию и построить эпюру напряжений, проверить прочность по предельным состояниям.

Второе число шифра	м	F1 кН	F2 кН	М1 кНм	М2 кНм	R МПа	γс
1	1,1	22	28	20	24	260	0,80
2	1,0	24	27	21	30	250	0,95
3	1,3	26	25	30	21	270	0,90
4	1,2	30	21	24	26	290	0,85

Пример решения

КОСОЙ ИЗГИБ БАЛКИ

Задана балка, изготовленная из двух стальных швеллеров с расчётным сопротивлением материала R.

Построить эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях; установить положение наиболее опасного сечения, найти нейтральную линию и построить эпюру напряжений, проверить прочность по предельным состояниям.

Исходные данные

Шифр	м	F1 кН	F2 кН	М кНм	R МПа	γс
31-5	1,0	10	30	18	240	0,95

Расчётная схема Решение

На исходном чертеже (рис. 1) показываем оси x, y, z. Нагрузки, действующие на балку, расположены в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Поэтому в поперечных сечениях балки будут действовать изгибающие моменты Mx и My. Из этого следует, что в данном случае имеется косой изгиб. Необходимо построить раздельно эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Начнём с вертикальной плоскости. Вид балки изображён на схеме а) рис. 2. Сечения при изгибе поворачиваются вокруг оси х, поэтому здесь действуют изгибающие моменты Мx. Показываем оси y, z, точки В, С, намечаем участки 1 и 2.

Изгибающий момент в сечениях первого участка

Mx = M = 18 кНм.

То же в сечении С второго участка

MxC = M – F2 · l = 18 – 30 · 1 = - 12 кНм.

В результате получается эпюра Mx, показанная на рисунке.

Перейдём к расчётам для горизонтальной плоскости. Расчётная схема имеет вид б). Указываем оси x, z, точки В, С, намечаем участки 1 и 2. В данном случае изгибающие моменты обозначаются Мy, поскольку они поворачивают сечения вокруг оси у-ов.

В сечениях 1 участка изгибающий момент равен нулю. В сечениях В, С второго участка получим

МуВ = - F1l = - 10 · 1 = - 10 кHм, МуС = - F12l = - 10 · 2 · 1 = - 20 кHм.

Показываем соответствующую эпюру на рисунке.

Установить сразу опасное сечение по двум эпюрам балки не удаётся, потому что наибольшие изгибающие моменты Мx max и Му max действуют в разных сечениях с разными осевыми моментами сопротивления. Для выявления наиболее опасного сечения придётся рассмотреть сечения С и D.

Предварительно найдём геометрические характеристики сечений. С этой целью изобразим сечение, укажем центры тяжести швеллеров C1, С2 и всего сечения - С. Проведём оси x1, y1, x2, у2 - центральные для отдельных швеллеров, а также оси х, у - центральные для всего сечения. Выпишем данные одного швеллера из таблицы ГОСТ8240-89 с учётом его горизонтального положения в данной балке.

А1 = 18,1 см2, h = 16 см, b = 6,4 см, zo = 1,8 см,

J= 63,3 см4, J = 747 см4 .

Расстояние между параллельными осями х1 и x равно

b1 = + zo = 3,5 + 1,8 = 5,3 см.

Вычислим осевые моменты инерции сечения балки

Jx = 2(J + bA1) = 2 · (63,3 + 5,32 · 18,1) = 1143 см4,

Jy = 2J= 2 · 747 = 1494 см4.

Им соответствуют осевые моменты сопротивления

Wx=см³, Wy= 186,8 см³.

Ввиду того, что сечение балки симметричное с угловыми точками, максимальное нормальное напряжение в нём можно найти по формуле

σmax=

В сечении В

smax = = 209,4 · 10 6 = 209,4 МПа.

В сечении С

smax = = 211,1 · 10 6 = 211,1 МПа.

Из сравнения результатов видно, что опасным является сечение С. Построим для него нейтральную линию и эпюру напряжений.

След силовой плоскости является прямой линией с угловым коэффициентом

k1 = tg a = = 0,6.

Отсюда α = 31°.

На рис. 4 покажем изгибающие моменты Mx и My, причём направим их в соответствии с эпюрами, изображёнными на рис. 2. Учтём при этом, что ординаты эпюр, как полагается, отложены со стороны растянутых волокон балки. Конкретно это означает, что изгибающий момент Mx должен быть направлен таким образом, чтобы верхние волокна балки были растянутыми. Аналогично, изгибающий момент My должен быть направлен таким образом, чтобы правые волокна балки были растянутыми. Сказанное влечёт направления Mx и My, показанные на рис. 4, а затем и направление суммарного изгибающего момента М, лежащего в силовой плоскости под углом α, как показано на рисунке. Угол α при этом откладывается против часовой стрелки, так как угловой коэффициент получен в виде положительного числа.

Нейтральная линия является прямой с угловым коэффициентом

k2 = tg β = = - 1,275.

Её угол наклона к горизонтальной оси

β = - 51,9º.

Получен знак минус. Следовательно, угол β должен быть отложен на рисунке по часовой стрелке. Как легко можно заметить, силовая плоскость и нейтральная линия не перпендикулярны между собой.

По положениям моментов и нейтральной линии, очевидно, что наибольшее растягивающее напряжение должно быть в точке D, наиболее удалённой от нейтральной линии и находящейся в растянутой зоне сечения. Его численное значение найдено выше.

Для построения эпюры нормальных напряжений требуется определить и наибольшее сжимающее напряжение в сечении. Оно будет в точке E, также наиболее удалённой от нейтральной линии, но уже расположенной с противоположной стороны в сжатой зоне. Вследствие симметричности сечения такое напряжение можно легко установить, т. е. будет

smin = - smax = - 211,1 МПа.

Проверку прочности выполним по условию

smax ≤ γC R,

что даёт

211,1 ≤ 0,95·240, 211,1 ≤ 228.

Прочность балки обеспечена.

Задача № 15

ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ КОРОТКОГО СТЕРЖНЯ

Короткий бетонный брус, поперечное сечение которого задано, сжимается силой F, приложенной в одной из точек В, С, D, E.

Требуется:

1) Вычислить наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения в поперечном сечении, выразив их через величину сжимающей силы F.

2) Из условия прочности бруса найти допускаемую нагрузку [F] при заданных расчётных сопротивлениях бетона на растяжение Rр и сжатие Rс.

3) Построить эпюру нормальных напряжений.