Учебно-методический комплекс "Математический анализ" (стр. 14 )

1

12.7 Если  — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда  равно …

2

12.8 Если  — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда  равно …

1

12.9 Если  — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда  равно …

2

12.10 Если  — решение уравнения , удовлетворяющее условию , тогда  равно …

1

Дифференциальные уравнения высших порядков

13.1 Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид  …

13.2 Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид  …

13.3 Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

13.4 Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

13.5 Общее решение дифференциального уравнения  имеет вид …

Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка

14.1 Однородному дифференциальному уравнению второго порядка  соответствует характеристическое уравнение …

14.2 Семейству интегральных кривых , где  - произвольные постоянные, соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка …

14.3 Дано дифференциальное уравнение . Общим видом частного решения данного уравнения является …

14.4 Дано дифференциальное уравнение . Общим видом частного решения данного уравнения является …

14.5 Дано дифференциальное уравнение . Общим видом частного решения данного уравнения является …

14.6 Если функция  имеет вид:
1.
2.
3.
то частное решение  неоднородного дифференциального уравнения  следует искать в виде …

14.7 Если функция  имеет вид:
1.
2.
3.
то частное решение  неоднородного дифференциального уравнения  следует искать в виде …

14.8 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения

1.
2.
3.

14.9 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения

1.
2.
3.

14.10 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его частного решения …

1.
2.
3.

Раздел 10. Источники

Основная литература

1.Никольский математического анализа. Том 1-2. М.: Наука, 2009г.

2.Кудрявцев курс математического анализа. М.: Наука, 2009г.

3.Кудрявцев математического анализа. Том 1-2. М.: Высш. школа, 2009г.

4. и др. Вся высшая математика. Тома 1-4. М.: Эдиториал 2009г.

5., Позняк математического анализа. Том 1-2. М Наука,2009.

6. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 2008.

7. Высшая математика М. Высшее образование 2008г.

8.Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. Том 1-3. М.: Наука, 2007г.

9.Ефимов курс аналитической геометрии. М.: Высш. шк., 2007.г.

10.Гельфанд по линейной алгебре. М.: Высш. шк., 2006.

11.Шилов анализ (конечномерные линейные пространства). М.: Высш. шк., 2007.г.

Дополнительная

12., Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2009г.

13.Берман задач по курсу математического анализа. М.: Hаука, 2008г..

14. Э Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2008г.

15.Степанов дифференциальных уравнений. Гостехиздат. М.: 2007г..

16.Пискунов и интегральное исчисления: Т. 1-2.

М.: Наука, 2008г.

Раздел 11 .Глоссарий

Абсолютной величиной (или модулем) действи­тельного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число ~х, если х отрицательно:

II ( х, если х>0,

1 ' \-х, если х<0,

Функция у =/ (х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что |/(х)| < М для любого х е X. В противном случае функция называется неограниченной.

1.  Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т. е. результата, эффекта неко­торого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

2.  Производственная функция — зависимость результата про­изводственной деятельности от обусловивших его факторов.

3.  Функция выпуска (частный вид производственной функ­ции) — зависимость объема производства от наличия или по­требления ресурсов.

4.  Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость
объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары
или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. п.).

Если по некоторому закону каждому натурально­му числу п поставлено в соответствие вполне определенное чис­ло ап, то говорят, что задана числовая последовательность {ап}:

Число А называется пределом числовой последо­вательности {ап}, если для любого даже сколь угодно малого по­ложительного числа е > 0 найдется такой номер N (зависящий от б, N = N(z)), что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство

\ап~А\<е.

Число А называется пределом функции у — f(x) j при х, стремящемся к бесконечности, если для любого даже сколь | угодно малого положительного числа е > 0 найдется такое поло­жительное число S > 0 (зависящее от s; S = S(s)), что для всех х, таких, что \х\> S, верно неравенство:

\Ах)-А\<ъ.

Функция а(х) называется бесконечно малой вели­чиной при х -» х0, или при х -> со, если ее предел равен нулю:

lim - а(х) =0.

х->х0(оо)

Функция f(x) называется бесконечно большой ве­личиной при х -> х0, если для любого даже сколь угодно большого положительного числа М > 0 найдется такое положительное чис­ло 5 > 0 (зависящее от М, 8 = Ъ(М)), что для всех х, не равных д:0

и удовлетворяющих условию I x — х0 | < 6, будет верно неравенство

\Лх)\> М.

Функция /(х) называется непрерывной в точ­ке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) опре­делена в точке х0 (т. е. существует /(%)); 2) имеет конечный предел функции при х -> х0; 3) этот предел равен значению функ­ции в точке х0, т. е.

lim f(x) = f(x0).

Свойства функций, непрерыв­ных на отрезке:

о

1.  Если функция у = /(х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 6.10).

2.  Если функция у = / (х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то

она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наи­большего значения М теорема Вейерштрасса

Свойства функций, непрерыв­ных на отрезке:

о

3.  Если функция у = /(х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке (см. рис. 6.10).

4.  Если функция у = / (х) не­прерывна на отрезке [а, Ь], то

она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наи­большего значения М теорема Вейерштрасса

Производной функции у = /(х) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой пере­менной при стремлении последнего к нулю (если этот предел суще­ствует):

геометрический смысл про­изводной: производная /'(х0)есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=/(х) в точ­ке х0,т. е. k=f'(x0).

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная про­изведению производной на приращение независимой переменной

dy =/'(х)Ах.

Функция F (х) называется первообразной функци­ей для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F'(x) =f(x).

Совокупность всех первообразных для функции /(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от

функции /(х) и обозначается jf(x)dx, где J — знак интеграла,

f(x) — подынтегршьная функция, f(x)dx — подынтегральное вы­ражение. Таким образом,

\f{x)dx = F(x) + С,

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связы­вающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Общим решением дифференциального уравнения я-го порядка называется такое его решение

>- = Ф(х, С,,...,С„),

которое является функцией переменной х и я произвольных независимых постоянных С,, С2,..., Сп. (Независимость по­стоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними.)

частным решением дифференциального уравнения называет­ся решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных Сх, С2,..., Сп.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по­стоянными коэффициентами имеет вид

У + РУ' + ау=г(х),

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

y' = g(y/x),

где g — некоторая функция (одной переменной).

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

y'+f(x)y = g(x),

где /(х) и g (x) — некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g {x) тождественно равна нулю, урав­нение называется однородным, в противном случае — неоднород­ным.

Числовым рядом называется бесконечная последо­вательность чисел щ, и2, ...,ип,... соединенных знаком сложения:

щ + и2+... + ип+...

Числа щ, и2,..., ип,... называются членами ряда, а член ип —

общим или п-м членом ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм

Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд щ+и2+... + ип+... сходится и имеет сумму S, то и ряд Хщ + Хи2 +... + Хип +... (по­лученный умножением данного ряда на число X) также схо­дится и имеет сумму XS.

2. Если ряды щ + и2 + • • • + ип + • • • и Vj + v2 +... + v„ +... сходятся

и их суммы соответственно равны Sy и S2, то и ряд

(И| + V,) + (и2 + v2) +... + (ип + vn) +... (представляющий сумму

данных рядов) также сходится, и его сумма равна 5, +S2.

Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х,, х2, ..., хп) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной ве­личины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких перемен­ных z = f(x{, ..., х„).

Линией уровня функции двух переменных z =f(x, у) называется множество точек на тоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С.

Число А называется пределом функции z =f(x, у) при х -» х0 и у -*у0 (или в точке (х0, у0)), если для любого даже

сколь угодно малого положительного числа s > 0 найдется поло­жительное число 5 > 0 (зависящее от е, 8 = 6(e)), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на расстояние р, меньшее, чем 81 (т. е. при 0 < р < 8), выполняется неравенство

\f(x, y)-A\<s. Обозначается предел так:

lim f(x, y) = A.

Дифференциалом функции называется сумма про­изведений частных производных этой функции на приращения со­ответствующих независимых переменных, т. е.

dz= z'xAx + z'yAy.

Точка М( х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z =f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство

f(x0,y0) >f(x, y)

Пусть точка (xQ, y0) — есть точка экстремума дифференцируемой функции z = fix,, у). Тогда частные производ­ные fx(xQ, у0) и fy(xQ, уQ) в этой точке равны нулю.

Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия) (см. § 5.6) также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора

Портфель ценных бумаг (под портфелем мы здесь будем по­нимать совокупность определенных ценных бумаг в определен-

ных количествах) характеризуется двумя основными параметра­ми — ожидаемой доходностью г и риском если частные производные и'х, и'у— функции полез­ности. Они называются предельными полезностями

Величина, об­ратная коэффициенту эластичности замещения, показывает приближенно, на сколько процентов изменится отношение пре­дельных продуктов МР(х)/МР(у) при изменении отношения за­трат ресурсов (х/у) на 1 %.

Приложение Лист переутверждения учебно-методического комплекса учебной дисциплины

Учебно-методический комплекс:

одобрен на 2011/2012 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры

от “18” г.

Зав. кафедрой

одобрен на 2012/2013 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры

от “21” г.

Зав. кафедрой

одобрен на 2013/2014 учебный год. Протокол № 5 заседания кафедры

от “18” г.

Зав. кафедрой