Интегралы от функций одной переменной, функции нескольких переменных, ряды (стр. 3 )

Окружности пересекаются при . Рассматриваемая фигура симметрична относительно луча . Следовательно, её площадь можно вычислять так:

Задача №6. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №6

Найти длину дуги кривой, заданной уравнением , .

Имеем ,

Задача №7. Исследовать сходимость несобственного интеграла.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №7

Исследовать сходимость интеграла .

Заметим, что

В то же время интеграл , т. е. сходится, а следовательно, по предельному признаку сравнения интеграл сходится.

Глава II. Функции нескольких переменных

§ 1. Основные определения и результаты, связанные с функциями нескольких переменных

1. Пусть  – множество точек плоскости. Если каждой точке поставлено в соответствие некоторое единственное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция от двух переменных . Множество называется областью определения, а множество  – область значений функции .

2. Окрестность точки  – множество точек , определяемое следующим образом

.

3. Число называется пределом функции в точке , если

,

при этом пишут

.

4. Функция называется непрерывной в точке , если

1) функция определена в точке (т. е. ),

2) 

Функция называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

5. Частные производные и определяются с помощью пределов:

, .

При этом точки . Частные производные высших порядков определяются по индукции.

6. Дифференциалом функции первого порядка называется величина , определяемая по формуле

, где , если независимые переменные. Дифференциалы высших порядков определяются по индукции согласно формуле

, .

7. Дифференцирование сложных и неявных функций.

Пусть причём при , тогда на множестве определена сложная функция . Частные производные функции по независимым переменным выражаются следующим образом

.

При этом дифференциалы функций определяются по формулам

и т. д.

Выражение вида задаёт неявную функцию . Частные производные от по независимым переменным определяются из системы линейных уравнений

,

т. е. .

8. Формула Тейлора для функций двух переменных.

Пусть определена для причём в точке