Интегралы от функций одной переменной, функции нескольких переменных, ряды (стр. 7 )

Найдём экстремальные значения линейной функции . При выполнении уравнения связи

.

Согласно общей теории (см. п. 10 этой главы) составим функцию Лагранжа:

.

Составим и решим систему уравнений:

,

,

.

Первые два уравнения этой системы решим относительно . Для этого представим эти уравнения в виде

.

Отсюда следует, что , . После подстановки найденных и в третье уравнение системы получим уравнение относительно :

.

Отсюда . Таким образом, найдены все решения системы:

,

.

Для выяснения характера экстремума в этих точках вычисляем определитель (см. п.10)

В точке  значение , поэтому в этой точке функция имеет условный минимум. Точно также проверяется, что в точке

,

функция достигает своего условного максимума .

Рассчитаем экстремальные значения:

,

.

Глава III. Ряды.

§1. Основные определения и результаты

1. Выражение , где  – заданная числовая последовательность, называется числовым рядом. Конечная сумма называется частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм , то ряд называется сходящимся, а число  – суммой ряда.

2. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то .

3. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

4. Признаки сходимости числовых рядов.

Признак сравнения. Если члены ряда для всех () удовлетворяют условию , причём ряд сходится, то ряд сходится абсолютно. Если же для члены ряда удовлетворяют условию , причём ряд расходится, то ряд не сходится абсолютно.

Предельный признак сравнения. Если ряд сходится абсолютно и существует конечный предел , то ряд также сходится абсолютно. Если же члены рядов и  – действительные положительные числа и

,

то ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Признак Даламбера. Если члены ряда таковы, что существует конечный предел

,

то при ряд сходится абсолютно, при  – расходится, а при требуется дополнительное исследование.

Признак Коши. Пусть . Тогда если , то ряд сходится абсолютно, если  – расходится, а при  – расходится, а при требуется дополнительное исследование.

Интегральный признак Коши. Пусть функция положительна и монотонна при , и пусть для всех натуральных имеет место равенство . Тогда числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

.

Признак Лейбница. Пусть члены знакочередующегося ряда:

действительны, монотонно убывают, т. е. , и . Тогда соответствующий ряд сходится, причём для его суммы имеет место оценка .

Признак Абеля-Дирихле. Пусть члены последовательности монотонно убывают: , и , а частичные суммы ограничены в совокупности, т. е. для всех натуральных . Тогда ряд сходится.

5. Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным:

Придавая определённое значение , мы получим числовой ряд , который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

6. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом выполняется равенство

Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом при выполняется равенство

7. Если модули всех производных функции ограничены в окрестности точки одним и тем же числом , то для любого из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т. е. имеет место разложение

.

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

.

Приведём разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

,

,

,

.

§2. Типовые задачи

Задача №14. Исследовать на сходимость ряд.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №14

Исследовать сходимость ряда . Применим предельный признак сравнения. Так как , а ряд расходится, поскольку расходится несобственный интеграл (интегральный признак Коши), то исходный ряд также расходится.

Задача №15. Исследовать на сходимость ряд.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №15

Исследовать на сходимость ряд . Имеем , и