Интегралы от функций одной переменной, функции нескольких переменных, ряды (стр. 4 )

, где

.

9. Локальный экстремум функции двух переменных.

Необходимое условие локального экстремума:

.

Достаточные условия локального экстремума.

 – точка локального минимума,

 – точка локального максимума.

При экстремума нет.

При необходимы дополнительные исследования.

10. Условный экстремум функции двух переменных.

Ведётся поиск экстремальных значений функции при выполнении уравнения связи . Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции Лагранжа

.

Необходимые условия условного экстремума

, т. е.

.

Пусть ,  – некоторое решение этой системы.

Достаточные условия условного экстремума.

Введём определитель третьего порядка

.

Если при , то функция имеет в точке условный максимум.

Если при ,  – условный максимум.

§ 2. Типовые задачи

Задача №8. Найти приближённые значения выражения.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи № 8

Пусть требуется найти приближенное значение арифметического выражения . Введём в рассмотрение функцию и две точки и . Таким образом, , . Для приближённого расчёта значений функции приращение функции заменяют дифференциалом , т. е.

Проведём расчёт и . Получаем

,

Окончательно имеем следующий результат

.

Задача №9. Найти область определения функции .

Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке . Найти производную от функции в точке по направлению проекции нормали на плоскость .

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №9

Рассмотрим функцию и точку

.

Область определения