Интегралы от функций одной переменной, функции нескольких переменных, ряды (стр. 6 )

Решим поставленную задачу для функции в точке . Пусть , , тогда , . По известной в тригонометрии формуле получаем

используем известные представления функции по формуле Тейлора

После этого определяем функцию

где .

Задача №12. Найти экстремальные значения функции в замкнутой области .

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №12

Исследуем на экстремум функцию в замкнутой области . Прежде всего, найдём локальные экстремумы. Согласно указаниям п.9 этой главы составим и решим систему:

, .

Система имеет единственное решение: . Найдём значение определителя в этой точке:

.

При , а значение . Поэтому в этой точке функция имеет локальный минимум .

Изучим экстремальные значения функции на границе области .

1) ; тогда , а при  ,

.

2) ; тогда , а , , , ,

; таким образом, при функция

имеет минимум .

3) ; тогда , а , , , ,.

Следовательно при функция достигает своего наименьшего значения на отрезке

.

4) ; тогда , а , ,

В точке функция имеет минимальное значение

.

Из всех найденных минимальных значений (они подчёркнуты в тексте) выбираем наименьшее

.

Чтобы наибольшее значение функции рассчитаем значение функции в угловых точках прямоугольника

.

Выбираем наибольшее из этих чисел

.

Таким образом, наименьшее значение функции на множестве , наибольшее значение .

Задача №13. Найти условный экстремум функции при выполнении уравнения связи .

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №13