Интегралы от функций одной переменной, функции нескольких переменных, ряды (стр. 1 )

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Государственный университет по землеустройству

Кафедра высшей математики

Высшая математика

Интегралы от функций одной переменной,

функции нескольких переменных,

ряды

Контрольные задания для самостоятельной работы

студентов I курса специальностей:

31.09.00 – «Землеустройство»

31.10.00 – «Земельный кадастр»

31.11.00 – «Городской кадастр»

25.00.34 – «Аэрокосмические исследования Земли,

фотограмметрия»

25.00.32 – «Геодезия»

Москва 2002

УДК 51

Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой высшей математики Государственного университета по землеустройству (протокол №   от  . . 2002 г).

Рецензент: Заведующий кафедрой высшей математики МЭИ доктор физико-математических наук профессор

Авторы:

к. ф.-м. н. доц. , к. ф.-м. н. , к. ф.-м. н.

Общие указания

Предлагаемая работа содержит контрольные задания по программе курса высшей математики второго семестра для студентов всех специальностей, каждое задание содержит образец решения.

Выполнение студентами контрольных заданий является одним из этапов изучения учебной дисциплины и подготовки к экзамену. Каждое контрольное задание выполняется на отдельном листе формата А4. Все задания брошюруются и предъявляются преподавателю для защиты.

К экзамену допускаются лишь те студенты, у которых зачтены все контрольные задания, запланированные в данном семестре.

Каждый студент выполняет контрольные задания в соответствии со своим вариантом.

Глава I. Интегралы от функций одной переменной

§ 1. Основные определения и результаты

1. Функция называется первообразной функции , заданной на некотором множестве , если для всех . Если  – первообразная функции , то является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда , где  – некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функций называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Таким образом, по определению:

,

где  – одна из первообразных функции , а постоянная принимает действительные значения.

2. Если и  – дифференцируемы функции, то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

,

или в краткой записи

.

3. Интегрирование произвольной рациональной дроби

с действительными коэффициентами в общем случае производится следующим образом.

Если , т. е. исходная дробь неправильная, то следует предварительно выделить в этой дроби целую часть, т. е. представить её в виде

,

где и  – многочлены степеней и соответственно, причём , т. е. дробь правильная. Выделение целой части в дроби производится делением числителя на знаменатель «уголком».

Таким образом, операция выделения целой части сводит интегрирование произвольной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь , , следует предварительно разложить её в сумму так называемых простейших дробей. Это разложение осуществляется следующим образом. Пусть для знаменателя справедливо разложение на множители

где , а трёхчлены , , не имеют действительных корней.

Тогда разложение дроби в сумму простейших имеет вид

Коэффициенты в этом разложении определяются путём приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях у многочлена и многочлена, который получается в числителе правой части после приведения её к общему знаменателю (метод неопределённых коэффициентов).

Указанная формула показывает, что интегрирование произвольной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.

4. Если  – одна из первообразных непрерывной на функции , то справедлива следующая формула Ньютона-Лейбница:

.

5. Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причём , то

.

6. Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения , прямыми и осью , то площадь её вычисляется по формуле

,

где пределы интегрирования находятся из уравнений ( на отрезке ).

7. Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами , где и  – полярные координаты, или площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой графика функции , , вычисляется по формуле

.

8. Если гладкая кривая задана уравнением , то длина её дуги равна

,

где и  – абсциссы концов дуги.

9. Несобственные интегралы на бесконечном промежутке.

Если функция непрерывна при , то по определению

.

Если существует конечный предел в правой части этой формулы, то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то – расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл в случае есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой и осью (асимптотой).

Признаки сходимости и расходимости.

1) Если  – первообразная для и существует конечный предел , то несобственный интеграл сходится и равен

,

если же не существует, то несобственный интеграл расходится.

2) Пусть при . Если сходится, то сходится и , причём . Если расходится, то расходится и (признаки сравнения).

3) Если при и существует конечный предел , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно (предельный признак сравнения).

4) Если сходится , то сходится и (последний интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).

§2. Типовые задачи

Задача №1. Найти неопределённые интегралы.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №1

Найти .

Полагаем . Тогда и . Подставив в формулу интегрирования по частям, находим

.

Задача №2. Вычислить определённые интегралы.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №2

Вычислить . Сделаем замену переменных . Тогда , , . Следовательно, .