Интегралы от функций одной переменной, функции нескольких переменных, ряды (стр. 9 )

.

Следовательно, при ряд сходится, т. е. при . На границе интервала сходимости, при , получаем

если , то ряд расходится в силу интегрального признака,

если , то ряд сходится по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда .

Задача №19. Найти сумму ряда.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №19

а) Найти сумму степенного ряда .

Данный ряд сходится на интервале , и его сумма имеет непрерывную производную , причём согласно формуле о почленном дифференцировании степенного ряда

.

Последний ряд на интервале сходится к функции (сумма геометрической прогрессии), и поэтому

.

Интегрируя полученное равенство, получаем:

,

где  – некоторая константа. Поскольку и , то и . Таким образом,

.

б) Найти сумму степенного ряда .

Данный ряд сходится на интервале . Далее,

,

откуда согласно равенству

(сумма геометрической прогрессии) находим окончательно:

.

Задача №20. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Образец решения задачи №20

Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

Воспользуемся разложением функции в ряд по степеням :

, ,

заменив в этом разложении на , получим:

, .

Затем проинтегрируем обе части равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости .

Получили ряд лейбницевского типа. Так как

, а , то с точностью до 0,001 имеем:.

Контрольные задания для самостоятельной работы

студентов I курса

Интегралы от функций одной переменной,

функции нескольких переменных,

ряды

Авторы: , ,

Редакторы:

Компьютерная вёрстка

Редакционно-издательский отдел ГУЗа

Лицензия ЛР № 000 от 02.02.98 г.

Сдано в производство………Подписано к печати……..

Объём печ. л. уч.-изд. л. Тираж экз.

Формат бумаги 60´84/16. Бумага офсетная.

Ризография. Заказ №

___________________________________________________________________________

Участок оперативной полиграфии ГУЗа

Москва, ул. Казакова, 15.