Математические методы и модели в экономике (стр. 6 )

S0	x1	S1	y1	φ(x1)	ψ(y1)	Z2	φ + ψ + Z2	Z1
20	10	0	15	4	4	27	35	35
	20	10	25	8	6	23	37
	30	20	35	12	8	19	39
	40	30	45	16	10	17	43
	50	40	55	20	12	15	47
	60	50	65	24	14	12	50

Безусловная оптимизация – просматриваем таблицы с первого месяца до последнего по шагам и выбираем наилучшие варианты.

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ:

Минимальные затраты для обеспечения ритмичной работы предприятия в течение трех месяцев составят 35 ден. ед.

Покупка, средний уровень хранения, затраты по месяцам составят:

x1 = 10 S1 = 0 y1 = 15 φ(x1) = 4 ψ(y1) = 4

x2 = 20 S2 = 0 y2 = 10 φ(x2) = 8 ψ(y2) = 3

x3 = 30 S3 = 0 y3 = 15 φ(x3) = 12 ψ(y3) = 4

ЗАДАНИЕ 3. Тема: «Производственная функция и расчет ее характеристик».

Задача 3.1

Производственная функция Кобба - Дугласа имеет вид

Y= (3+N) K (0.1N) L (0.3N).

Найти:

- среднюю фондоотдачу Ayk, среднюю производительность труда AyL при К = 100 и L= 50,

- предельные продукты капитала Мк, труда МL,

- предельную норму замещения капитала трудом MRSTL,K ,

- коэффициент эластичности замещения σ ,

- коэффициенты эластичности выпуска по затратам капитала EK(Y) и по затратам трудовых ресурсов EL(Y),

- каким образом в задаче сделать технический прогресс капиталоинтенсивным и каким – трудоинтенсивным?

- какова отдача расширения производства?

Методические указания

При выполнении работы рекомендуется вначале рассмотреть предложенную задачу, а затем перейти к решению выбранной по своему варианту задачи. В исходных данных

N - выбирается по последнему числу номера зачетной книжки.

Теоретический материал

Производственная функция Кобба-Дугласа (Cobb-Douglas production function) - модель, показывающая зависимость объёма производства (Y) от создающих его факторов производства — труда (L) и капитала (K).

Функция имеет следующий вид:

Y = A ∙ Kα∙L б

Где

Y- объем производства;
L - труд;
K - капитал;
A - коэффициент пропорциональности, учитывающий все качественные, не выражающиеся в количествах капитала и труда, факторы производства (технологический коэффициент);
α - коэффициент эластичности по капиталу (при увеличении фондов на 1% выпуск увеличится на α);
б - коэффициент эластичности по труду (при увеличении численности рабочих на 1% выпуск увеличится на б).

Предполагается, что объем производства Y определяется двумя факторами:

K (количеством капитала, то есть используемых производственных фондов) и L (количеством труда).

Степенные показатели α и б (коэффициенты эластичности) показывают, на сколько процентов увеличится продукция, если увеличить на 1% соответственно количество капитала и труда, каждый раз оставляя количество другого фактора фиксированным.

Например, равенство Y = К0,27 L0,73 означает, что доля труда в совокупном продукте составляет 73%, а доля капитала — 27%.

Производственная функция входит в статические модели, позволяя исследовать текущие соотношения затрат ресурсов и результатов производства. Есть динамические варианты, предназначенные для прогнозирования экономического роста. Модели производственной функции с успехом применяются при изучении хозяйственной деятельности предприятия.

A, a,б - числовые параметры производственной функции подчиняются условиям:

0≤ а ≤1; 0 ≤б ≤1; A › 0;

a+β = 1 (Эта сумма показывает эффект одновременного пропорционального увеличения объема как ресурсов труда, так и производственных фондов).

Свойства производственной функции.

1. Производственная функция должна задаваться положительно определенной, дважды дифференцируемой по всем своим аргументам функцией.

2. Производственная функция обращается в нуль, если отсутствует хотя бы один из ресурсов. 
Невозможно полностью заменить один фактор производства комбинацией других факторов. Возможно лишь частичное замещение одного фактора другими в некоторой ограниченной области.

3. С увеличением любого из ресурсов объем производства возрастает dY/dxi.

4. При увеличении любого из ресурсов предельная эффективность является убывающей функцией.

5. Производство должно обладать свойством масштабируемости: при одновременном увеличении всех затрат в λ раз количество произведенного продукта также должно увеличиться в λ раз.

a+β=1 (Эта сумма показывает эффект одновременного пропорционального увеличения объема как ресурсов труда, так и производственных фондов).

Первое и второе ограничения означают, что объём выпускаемой продукции увеличивается при постоянном значении одного из факторов и росте другого фактора. Однако если один из факторов производства фиксирован, а другой фактор возрастает, то каждая дополнительная (предельная) единица возрастающего фактора менее полезна (с точки зрения прироста выпуска продукции), чем предыдущая единица.

Основные характеристики производственного процесса, описываемого производственной функцией:

1) Средняя производительность капитала

AYK = Y/K = AKαL б/ K

Средняя производительность труда

AYL = Y/L = AKαL б/ L

2) Предельная производительность капитала (предельный продукт капитала)

MYK = 𝝏Y/ 𝜕K = 𝝏(AKαL б)/𝜕K

Предельная производительность труда (предельный продукт труда)

MYL = 𝝏Y/𝝏L = 𝝏(AKαL б)/𝝏L

Так как 0 < α < 1, то MYK < AYK .

3) Предельная норма замещения капитала трудом (γK-L ) MRSTL,K