Математические методы и модели в экономике (стр. 9 )

Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;

Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;

Робс – вероятность обслуживания.

nз = ρ* Робс - среднее число занятых обслуживанием каналов.

кз = nз / n - для каналов, занятых обслуживанием.

А = λ Робс - абсолютная пропускная способность СМО.

3. Определяем характеристики данной СМО:

а) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3

n

б) Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!)=

к=0

=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+

+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054

в) Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=

= (243/120)*0,054=0,12

г) Робс = 1- Ротк= 1-0,12=0,88

д) nз = ρ*Робс= 3*0,88=2,6

е) кз = nз / n = 2,6/5=0,52

ж) А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.

Анализ решения:

Несмотря на низкую вероятность отказа (Ротк=0,12) и достаточно высокую вероятность обслуживания (Робс=0,88) всего постоянно занято 52% каналов из 5-ти.

Система напряженная, т. к. вероятность простоя каналов очень низкая (Ро=0,054).

СМО необходимо улучшать, т. к. абсолютная пропускная способность низкая и составляет – А=1.31 заявок, хотя занято nз =2,6 канала и более 2-х каналов свободны.

Для улучшения данной СМО необходимо сокращать время обслуживания заявки проведением организационных и технических мероприятий.

Пример № 2

На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин.

Определить характеристики этой СМО и сделать анализ СМО.

Решение:

1) Классифицируем СМО:

- с ограниченной длиной очереди

- с накопителем

- многоканальная

- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.

2) Обозначения:

m=2 - длина накопителя

n=2 - число каналов

Остальные обозначения - как в Примере № 1.

3) Определяем характеристики данной СМО:

а) λ = 1/3;

б) tобс = 2 мин;

в) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = (1/3)*2=2/3.

г) Вероятность простоя каналов:

n

Ро= 1/(Σρк/n!)+ρn+1/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)m]= 1/ ((ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+

к=0

+(ρ2+1/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)2]=1/ ( (2/3)/0! )+2/3+( (2/3)2/(1*2) )+

+( (2/3)3/ 2(2-2/3) ) [1- ( (2/3)/2 )]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52

д) Вероятность отказа в обслуживании:

Ротк= ρn+m/ n!nm*Ро= ( (2/3)4/1*2*22 )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013

е) Вероятность обслуживания:

Робс = 1- Ротк= 0,987

ж) Абсолютная пропускная способность:

А = λ Робс= 0,987*1/3=0,33

з) Среднее число занятых каналов:

nз = ρ*Робс= 2/3*0,987=0,658

Для каналов, занятых обслуживанием:

кз = 0,658/2=0,329.

и) Среднее число заявок в очереди:

_

Loч= ρn+1/n*n! * ( 1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n) )/(1-ρ/n)2 * Ро

_

Loч =( (2/3)3/(2*2) )* 1-( (2/3)/2)2 )*( 2+1-2*((2/3)/2) )/ (1-(2/3)/2)2) *0.52

=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14

к) Среднее время ожидания обслуживания:

_

tor= Loч/ λ = 0.14/0.33=0.42

л) Среднее число заявок в системе:

_

Z= Loч+ nз =0,14+0,66=0,8

м) Среднее время пребывания в системе:

tсмо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или tсмо= toч+ toбс= 0,42+2=2,42 мин

Анализ провести по аналогии примера №1.

Контрольные вопросы:

1.Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для чего они предназначены?

2.Какие блоки включает схема СМО?

3.Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?

4.На какие классы делятся СМО в зависимости от :

а) характера потоков,

б) числа каналов,

в) дисциплины обслуживания,

г) ограничения потока заявок,

д) количества этапов обслуживания?

5.Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?

6.Что представляет собой интенсивность входящего потока и какова единица измерения этого показателя?

7.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами?

8.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди?

9.Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с неограниченным ожиданием?

Вопросы

для самоконтроля по дисциплине «Математические методы и модели в экономике» для направления подготовки 080100.62 «Экономика».

1. Методология и методы математического моделирования, построение математических моделей.

2. Классификация математических методов и моделей для решения экономических задач..

3. Сетевое моделирование. Расчет характеристик событий и работ. Геометрический метод расчета сетевой модели.

4. Сетевое моделирование. Построение сетевой модели. Табличный метод расчета сетевой модели.

5. Математические модели линейного программирования. Двойственные задачи. Правила построения математической модели двойственной задачи.

6. Теоремы двойственности и их экономический смысл.

7. Методы решения задач линейного программирования и их анализ.

8. Динамические модели в экономике. Динамическая модель управления запасами.

9. Модели экономического равновесия.

10. Производственная функция и ее применение в экономике.

11. Расчет основных характеристик производственной функции.

12. Модель экономического роста. Модель Солоу.

13. Стохастические модели систем массового обслуживания.

14. Виды моделей систем массового обслуживания и расчет их характеристик.

15. Моделирование по схеме марковских случайных процессов. Классификация марковских процессов.

16. Цепи Маркова. Уравнение Колмогорова.

17. Расчет цепей Маркова.

18. Потоки событий и предельные вероятности состояний в цепях Маркова.

19. Современные методы измерения, классификации и экспертных оценок.

20. Математические методы анализа экспертных оценок.

21. Экспертные методы. Метод средних арифметических рангов анализа экспертных оценок.

22. Экспертные методы. Метод медиан рангов.

23. Экспертные методы. Метод согласования кластерных ранжировок.

24. Экспертные методы. Вычисление медианы Кемени.