Тема 1. Кинематика частицы и поступательного движения твердого тела (стр. 2 )

Векторным произведением и называется вектор , модуль которого равен . Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены перемножаемые векторы. При этом, если смотреть с конца вектора , первый из перемножаемых векторов должен совмещаться по кратчайшему пути со вторым против часовой стрелки (рис.1.6,а). Здесь же изображен параллелограмм, построенный на векторах и . Из определения векторного произведения следует, что его модуль численно равен площади этого параллелограмма. Для обозначения векторного произведения используются квадратные скобки: . В отличие от скалярного произведения, при перестановке перемножаемых векторов направление вектора изменяется на противоположное, т. е. . В координатной форме векторное произведение можно представить в виде определителя третьего порядка, в котором первая строка состоит из базисных векторов , вторая строка – из координат вектора , третья строка – из координат вектора :

.

Раскрыв определитель по элементам первой строки, получим вектор в виде разложения по координатному базису:

.

Выражения в скобках представляют собой соответствующие координаты вектора .

1.2.  Производная функции

Определение производной функции, ее геометрический смысл. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Дифференциал функции одной переменной. Дифференцирование векторной функции.

Пусть каждой точке некоторой области пространства поставлен в соответствие вектор , координаты которого зависят от времени. Это означает, что в рассматриваемой области пространства определена векторная функция . По определению производная векторной функции по времени – это вектор

.

1.3.  Неопределенный и определенный интеграл

Первообразной функции называется функция , такая,

что . Бесчисленное множество всех первообразных функции называется ее неопределенным интегралом:

.

Таблица некоторых неопределенных интегралов.

Определенный интеграл, как и производная функции, находит самое широкое применение в физике для описания и исследования различных процессов и явлений. Ниже мы рассмотрим некоторые задачи геометрии и механики, приводящие к понятию определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная графиком функции , осью прямоугольной декартовой системы координат, а также прямыми и (рис. 1.7). Будем считать для упрощения рассуждений, что функция на отрезке имеет только положительные значения. Для того чтобы найти площадь криволинейной трапеции, разделим промежуток произвольным образом на более мелких отрезков , , ,…, которые будем называть отрезками деления. Затем выберем произвольно на каждом из них точку и составим сумму

,

которая называется интегральной суммой для функции на отрезке . Здесь , ,…- значения независимой переменной в точках, выбранных на первом, втором и т. д. отрезках деления, , ,…- значения функции в этих точках. Обозначив , и т. д., перепишем интегральную сумму:

.

Рис. 1.7

Понятно, что эта сумма численно равна площади ступенчатой фигуры, и представляет собой приближенное значение площади криволинейной трапеции. Ясно также, что чем больше число , тем меньше длина каждого из отрезков деления, и тем точнее значение суммы соответствует искомой площади. Истинное значение площади криволинейной трапеции мы получим, если перейдем к пределу интегральной суммы при условии, что длина каждого из отрезков деления стремится к нулю:

.

Конечный предел интегральной суммы (если он существует) называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается следующим образом:

.

Здесь называется подынтегральной функцией, числа и - нижним и верхним пределом интегрирования. В курсе высшей математики доказывается, что определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

.

Здесь и - значения первообразной подынтегральной функции для нижнего и верхнего предела интегрирования.