Тема 1. Кинематика частицы и поступательного движения твердого тела (стр. 5 )

, , .

1.5.  Кинематика поступательного движения твердого тела

Движение протяженного тела оказывается более сложным в сравнении с движением частицы именно вследствие его протяженности. Вместе с тем любое самое сложное движение твердого тела можно представить как суперпозицию (т. е. сумму) поступательного и вращательного движения.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, жестко связанная с рассматриваемым телом, не изменяет своей ориентации в пространстве, т. е. перемещается параллельно самой себе. Обозначим цифрами 1 и 2 две произвольно выбранные точки тела (рис.1.18). Радиус-векторы этих точек в используемой системе координат связаны очевидным соотношением . Продифференцировав это равенство по времени, получим:

Рис. 1.18

(1.11)

Поскольку при поступательном движении твердого тела ориентация вектора не изменяется,

,

и выражение (1.11) принимает вид:

. (1.12)

Дифференцирование по времени выражения (1.12) приводит к равенству

. (1.13)

Из формул (1.12) и (1.13) следует, что при поступательном движении

твердого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями.

Пусть траекторией движения частицы является плоская кривая (рис. 1.15). Соприкасающейся окружностью траектории в точке

называется окружность, проходящая через точки кривой при условии, что точки и стремятся к (на рис.1.15 соприкасающаяся

окружность изображена пунктирной линией). Иначе говоря, соприкасающейся называется окружность, «вписанная» в траекторию в окрестности рассматриваемой точки. Центром кривизны траектории в точке называется центр соприкасающейся окружности, радиусом кривизны – радиус этой окружности. Единичным вектором нормали к траектории в точке называется единичный вектор, проведенный из этой точки к центру кривизны, единичным вектором касательной – единичный вектор, проведенный из этой же точки вдоль касательной в сторону движения частицы. Единичный вектор нормали и единичный

Рис.1.15

касательный вектор обозначены на рис.1.15 как и , соответственно. Здесь же показаны соприкасающиеся окружности траектории в точках и .

При движении частицы по плоской кривой в любой ее точке . Ускорение частицы:

.

Здесь первое слагаемое – так называемое тангенциальное ускорение (), характеризующее быстроту изменения модуля мгновенной скорости; его вектор направлен вдоль касательной к траектории (рис. 1.17). Второе слагаемое – это вектор нормального ускорения (), характеризующий быстроту изменения направления мгновенной скорости. Можно показать, что

,

т. е. вектор нормального ускорения направлен к центру кривизны траектории (рис. 1.17). Здесь же показан вектор полного ускорения .

Рис.1.17

Выше было показано, что при поступательном движении твердого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями. Следовательно, равны тангенциальные и нормальные составляющие ускорения частиц. Поскольку нормальные составляющие зависят от радиуса кривизны, это означает, что траектории движения частиц в любой точке имеют одинаковые радиусы кривизны, т.е. все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Поэтому для описания поступательного движения твердого тела вполне достаточно охарактеризовать движение одной его точки, называемой центром масс.

Мысленно разобьем тело на частей, малых настолько, что каждую из них можно считать частицей. Центром масс тела называется точка, радиус вектор которой в выбранной системе координат определяется следующим равенством:

. (1.14)

Здесь - массы частей, на которые разбито тело, - их радиус-векторы (можно показать, что положение центра масс тела не зависит от выбора системы координат). В качестве примера найдем положение центра масс простейшего тела, состоящего из двух частиц и , находящихся на расстоянии . На рис.1.19 видно, что в выбранной системе координат , . В соответствии с (1.14)

.

Полагая для упрощения массы одинаковыми, т. е. , имеем:

Рис.1.19

. (1.15)

Пусть вектор имеет координаты . Тогда в соответствии с (1.15) получим:

, .

Поскольку координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца, такие же координаты имеет и центр масс тела, показанный на рис.1.19 кружком .