Тема 1. Кинематика частицы и поступательного движения твердого тела (стр. 4 )

Если считать, что , то ; поэтому

(1.4А)

Система равенств (1.4А) определяет зависимость координат частицы от времени в случае прямолинейного равномерного движения в координатной плоскости . В трехмерной системе координат зависимость от времени координаты имеет аналогичный вид: .

Ускорение – это вектор, характеризующий быстроту изменения скорости:

. (1.5)

Очевидно, единицей измерения ускорения в системе СИ является 1м/с2. Сравнивая (1.5) с определением производной функции (1.3А), легко видеть, что

, (1.5А)

т. е. вектор ускорения представляет собой производную вектора мгновенной скорости по времени. Поскольку ,

.

Следовательно, проекции вектора ускорения , , , а модуль вектора ускорения

.

Так как , , , проекции вектора ускорения представляют собой производные второго порядка соответствующих координат по времени:

, , .

В случае прямолинейного движения векторы скорости и ускорения коллинеарны: если скорость возрастает, векторы и сонаправлены, если же скорость уменьшается, эти векторы имеют противоположные направления.

Прямолинейное равнопеременное движение – это движение вдоль прямой с постоянным ускорением. В этом случае, поскольку , для любого промежутка времени

. (1.5Б)

Если считать, что - скорость частицы в момент , - в момент времени , то , , и . Аналогичный вид имеет зависимость от времени проекций вектора скорости:

, , . (1.6)

Для того чтобы найти зависимость от времени координат частицы, будем считать, что в момент частица начинает движение по координатной оси с начальной скоростью . Если бы движение было равномерным, абсциссу частицы в момент времени можно было бы найти по формуле (1.4а): . График зависимости проекции от времени при равномерном движении представляет собой прямую, параллельную оси . В этом случае произведение численно равно площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости и осью времени. Если же частица движется с постоянным ускорением, проекции вектора скорости зависят от времени по линейному закону (1.6), а график представляет собой прямую, ограничивающую прямоугольную трапецию. Абсциссу частицы в момент времени можно представить как , где численно равно площади этой трапеции:

.

Следовательно,

. (1.6А)

Рассуждая аналогично, можно найти ординату и аппликату частицы.

Теперь рассмотрим прямолинейное движение с переменным ускорением. Как уже отмечалось, вектор – скорость частицы спустя промежуток времени после начала движения. Если бы ускорение было постоянным, вектор можно было бы представить, согласно (1.5), как произведение (поскольку , ). Соответственно для проекций на оси системы координат имеем: , . График зависимости проекции вектора ускорения на ось абсцисс в рассматриваемом случае ( ) представляет собой отрезок прямой, параллельной оси времени. Поэтому величина , равная произведению , численно равна площади прямоугольника, ограниченного графиком зависимости и осью . Если же , изменение скорости численно равно площади фигуры, называемой, вообще говоря, криволинейной трапецией. Поскольку ее площадь выражается определенным интегралом, имеем:

.

Следовательно, . Аналогично

, .

Абсциссу частицы в момент времени можно представить как . Если бы движение происходило с постоянным ускорением, величина была бы численно равна площади прямоугольной трапеции. Если проекция изменяется по некоторому произвольному закону, величина равна площади криволинейной трапеции, т. е. определенному интегралу . Соответственно