Тема 1. Кинематика частицы и поступательного движения твердого тела (стр. 3 )

Пример: .

Таким образом, решение задачи о площади криволинейной трапеции сводится к вычислению определенного интеграла от функции, график которой ограничивает фигуру «сверху».

Путь при прямолинейном движении. Пусть скорость частицы, движущейся прямолинейно, зависит от времени по закону . Задача состоит в том, чтобы найти путь, пройденный частицей, за промежуток времени .

По аналогии с решением предыдущей задачи разбиваем промежуток на отрезков деления, на каждом из низ выбираем произвольно точку и составляем сумму:

.

Поскольку - это скорость частицы в точке, выбранной на первом отрезке, первое слагаемое в правой части дает путь, пройденный при равномерном движении в интервале . Аналогично второе слагаемое равно пути, пройденному частицей при равномерном движении в течение интервала , и т. д. Обозначим , и т. д. Тогда сумму можно переписать следующим образом:

.

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на промежутке . Понятно, что она дает приближенное значение искомого пути, тем более точное, чем меньше протяженность отрезков деления, т. е. чем больше число . Ясно также, что истинное значение пути мы получим, перейдя к пределу этой суммы при :

.

Конечный предел этой суммы называется определенным интегралом от функции на промежутке :

.

Итак, решение рассматриваемой задачи также сводится к вычислению определенного интеграла.

1.4.  Кинематика частицы

Любое тело можно представить в виде совокупность частиц. Основная задача механики заключается в том, чтобы найти закон движения тела, т. е. зависимость координат составляющих его частиц от времени. Вначале мы будем рассматривать движение простейшего тела – частицы, а затем перейдем к описанию движения протяженного тела.

Пусть положение движущейся частицы в декартовой прямоугольной системе координат характеризуется радиус-вектором (рис.1.8). Поскольку начало радиус-вектора находится в начале системы координат, его координаты совпадают с координатами частицы, закон ее движения можно представить в виде векторной функции . Для решения основной задачи, т. е. для отыскания вида этой функции, в механике используются два метода – кинематический и динамический. В рамках кинематического подхода исходными данными задачи является координат, скорость и ускорение частицы в начальный момент времени; силы, действующие на нее, нас не интересуют. В случае динамической постановки задачи для ее решения необходимо знать массу частицы и все силы, действующие на нее.

Далее рассмотрим основные понятия и физические величины, используемые для кинематического описания механического движения.

Траекторией движения называется воображаемая линия, вдоль которой движется частица. Если все точки траектории расположены в определенной плоскости, траектория называется плоской; соответственно движение частицы в этом случае также называется плоским. Далее мы будем рассматривать только плоское движение. Уравнение траектории движения частицы в координатной плоскости декартовой системы координат имеет вид . Движение называется прямолинейным, если траектория представляет собой прямую линию. В противном случае движение называется криволинейным. Траекторию любого плоского движения можно представить в виде

(1.1)

Здесь и - координаты частицы, - время. Исключив из уравнений (1.1) переменную , получим уравнение траектории в виде .

Вектором перемещения частицы называется вектор, соединяющий точки начала и конца траектории.

Средняя скорость перемещения – это вектор . Поскольку , вектор сонаправлен с вектором перемещения.

Мгновенная скорость – это вектор, равный пределу отношения вектора перемещения к промежутку времени , если:

. (1.3)

Сравнивая (1.3) с определением производной функции

, (1.3А)

легко видеть, что вектор мгновенной скорости частицы равен производной по времени ее радиус-вектора, т. е. . Поскольку координаты радиус-вектора совпадают с координатами частицы, имеем:

, .

Следовательно, координаты вектора мгновенной скорости равны производным соответствующих координат частицы, а модуль мгновенной скорости

.

Направление вектора мгновенной скорости частицы совпадает с направлением касательной к ее траектории.

Путь, пройденный телом – это длина траектории; единицей измерения пути в системе СИ служит 1 метр (м).

Средняя путевая скорость – это скалярная величина . Здесь -пройденный путь, - соответствующий промежуток времени. Очевидно, мгновенная скорость, средняя скорость перемещения и средняя путевая скорость имеют в системе СИ одну и ту же единицу измерения – 1м/с (метр в секунду).

Равномерным прямолинейным движением называется движение вдоль прямой линии с постоянной скоростью. Поскольку направление движения не изменяется, вектор скорости является неизменной величиной: . Из (1.3) следует, что в этом случае вектор перемещения

. (1.4)

Пусть частица в начальный момент времени находится в точке с радиус-вектором , в момент времени – в точке с радиус-вектором . С учетом (1.4) имеем: . Последнее векторное равенство эквивалентно системе скалярных уравнений