Тема 1. Кинематика частицы и поступательного движения твердого тела (стр. 1 )

Часть 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Тема 1. Кинематика частицы и поступательного движения

твердого тела

Вначале несколько слов о том, что же составляет предмет изучения физики как естественной науки. Окружающий нас мир материален. По современной классификации существует два вида материи – вещество и поле. В наиболее общем понимании физика занимается изучением движения материального мира. При этом в слово «движение» вкладывается философский смысл, т. е. под движением подразумеваются любые процессы изменения и взаимопревращения различных видов материи.

По сложившейся традиции изучение физики начинается с механики, в которой рассматривается простейший вид движения – механическое движение материальных тел. Согласно существующему определению, механическим движением тела называется изменение его положения относительно других тел с течением времени. В случае, когда масса тел значительно больше массы атомов, а скорость движения значительно меньше скорости света, механическое движение подчиняется закономерностям, установленным в классической нерелятивистской механике (механике Ньютона). В основе ньютоновской механики лежит предположение о независимости (инвариантности) временных промежутков и расстояний между точками пространства от выбора системы отсчета. Если скорости тел сравнимы со скоростью света, механическое движение подчиняется законам релятивистской механики, в рамках которой предположение об инвариантности временных и пространственных промежутков, вообще говоря, неверно. Если же масса тел сравнима с массой атомов и частиц, из которых они состоят, механическому движению свойственны законы квантовой механики.

В первой части курса рассматривается ньютоновская механика, а также основы классической релятивистской механики. Поскольку механическое движение происходит в пространстве и времени, для его описания используется система отсчета, включающая систему координат и прибор для измерения времени. Тело, с которым скреплена система координат, принято называть телом отсчета. При изучении механического движения широко используются два модельных объекта – материальная точка и абсолютно твердое тело. Под материальной точкой следует понимать тело, размерами и формой которого можно пренебречь в какой-либо конкретной ситуации. В качестве примера можно привести планету, на которой мы живем. Рассматривая Землю в составе солнечной системы, ее вращение относительно Солнца можно считать движением материальной точки. Вместе с тем при изучении движения автомобиля по земной поверхности это неверно. Под абсолютно твердым телом следует понимать тело, размеры и форма которого не изменяются в процессе движения. Понятно, что расстояние между любыми его точками при этом также неизменно. В дальнейшем вместо слов «материальная точка» мы будем пользоваться термином «частица», абсолютно твердое тело будем называть просто твердым телом.

1.1.  Математические операции над векторами

В механике, как и в физике вообще, широко используются векторные физические величины (вектор перемещения, скорость, ускорение, сила и т. п.). Ниже рассматриваются некоторые математические операции над векторами, которые используются в дальнейшем.

Вектором называется отрезок, который характеризуется длиной и направлением. Длина вектора в выбранном масштабе иначе называется его модулем. Вектор обозначается одной строчной буквой, либо двумя прописными буквами (рис.1.1). Во втором случае первая из двух букв

Рис. 1.1

обозначает начало вектора, вторая – его конец. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые модули и направление.

Линейные операции. К линейным операциям относится суммирование и вычитание векторов, а также умножение вектора на скаляр (число). Перечисленные действия можно выполнять в геометрической и координатной форме. Суммирование векторов в геометрической форме выполняется по правилу треугольника либо параллелограмма. Для того чтобы найти сумму двух векторов и по правилу треугольника,

Рис. 1.2

необходимо конец первого вектора совместить с началом второго путем параллельного переноса (рис.1.2,а); вектор представляет собой сумму . В случае использования правила параллелограмма нужно начала обоих векторов совместить в одной точке и построить на них параллелограмм (рис.1.2,б); его диагональ и есть вектор . Произведение вектора на скаляр – это вектор , модуль которого равен произведению . Направление вектора совпадает с направлением вектора , если . Если же , вектор направлен противоположно вектору . На рис. 1.3 показано умножение вектора на число 2 и -2. При вычитании векторов разность заменяется суммой . На рис.1.4 разность представляет собой вектор .

Рис.1.3

Рис.1.4

Далее рассмотрим линейные операции над векторами в координатной форме. Координатами вектора называются его проекции на координатные оси, численно равные разности координат проекций конца и начала вектора. На рис.1.5 показаны координаты вектора на плоскости. Тот факт, что вектор имеет координаты и , обозначается записью . В трехмерном пространстве вектор имеет третью координату , т. е. проекцию на ось (на рис. 1.5 она не показана). Любой вектор можно представить в виде cуммы трех компонентов и в виде разложения по базису декартовой системы координат (это как же?). Модуль вектора выражается через его координаты следующим образом: . Пусть векторы , , имеют координаты , , .

Если , то , , , т. е. при суммировании векторов соответствующие координаты складываются. Если же , то , , , т. е. при умножении вектора на скаляр каждая координата вектора умножается на этот скаляр.

Рис. 1.5

Скалярное и векторное произведение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное , где - угол между перемножаемыми векторами. Далее скалярное произведение будет обозначаться следующим образом: . Выражение для скалярного произведения в координатной форме имеет вид: , т. е. скалярное произведение численно равно сумме произведений соответствующих координат векторов. Из определения следует, что скалярное произведение не изменяется при перестановке векторов, т. е. .