Глава I. Элементы общей топологии (стр. 2 )

Аксиомы 2), 3) легко проверить непосредственно. Получим метрическое пространство .

7. Пусть - два метрических пространства и . Рассмотрим . На можно задать метрику одной из следующих формул:

a) 

b) 

c) 

Эти метрики удовлетворяют неравенству

. Метрическое пространство , где - любая из указанных выше метрик a) - c), называется произведением метрических пространств и .

1.2. Сходимость в метрическом пространстве. Полнота. Эквивалентные метрики.

Пусть - метрическое пространство. Рассмотрим последовательность точек , где .

Определение 3. Последовательность сходится к элементу , при стремящемуся к бесконечности, если числовая последовательность сходится к нулю на действительной прямой. При этом называется пределом последовательности и это записывается в виде: .

На языке «» это определение записывается в следующем виде:

.

Примеры

1. Пусть -действительная прямая

, т. е. имеет обычное определение сходящейся последовательности действительных чисел.

2. Пусть - дискретное пространство и - последовательность элементов множества . Так как

,

то условие равносильно тому, что, начиная с некоторого номера, все члены последовательности равны . Такие последовательности называются стационарными.

3. Пусть .

Рассмотрим последовательность функций , где .

Докажем, что (нулевая функция) в пространстве с равномерной метрикой.

Решение

Имеет место следующее неравенство:

.

Переходя в обеих частях этого неравенства к пределу при , получим: , т. е. .

4. Пусть в метрическом пространстве задана последовательность непрерывных функций , где

Доказать, что последовательность не сходится к непрерывной функции в с интегральной метрикой.

Решение

График функции изображен на рис.1.

Рис.1

Доказательство проведем методом от противного. Пусть существует непрерывная функция такая, что

.

Тогда:

.

Переходим к пределу при , получим, что . Так как функция непрерывна на отрезке , то .

Пусть теперь удовлетворяет условию: . Тогда для каждого номера такого, что , получим:

.

Переходя к пределу при , получим, что . Имеем:

Таким образом, функция не может быть непрерывной в точке . Полученное противоречие доказывает, что предположение было неверным, последовательность не сходится в пространстве

.

Пусть - последовательность элементов метрического пространства .

Определение 4. Последовательность называется последовательностью Коши или фундаментальной последовательностью в метрическом пространстве , если для нее выполняется условие:.

Примеры

1. Пусть - действительная прямая.

- последовательность Коши действительных чисел .