Глава I. Элементы общей топологии (стр. 5 )

.

Примеры

1. - действительная прямая.

, , .

2. Опишем шар в пространствах , , .

a)  Пусть и .

Тогда

и- соответственно открытый и замкнутый круг с центром в точке радиуса 1; а сфера - окружность радиуса 1 с центром в точке (см. рисунок 2 а), б))

а) б)

Рис. 2.

b)  Пусть. В метрике

и- соответственно открытый и замкнутый круг с центром в точке радиуса 1 и сфера - . Соответствующие множества точек изображены на рисунке 3 а), б).

а) б)

Рис. 3.

с) Если и рассматривается метрика , то открытый, замкнутый круги и сфера единичного радиуса соответственно задаются условиями:

.

Изображения соответствующих множеств точек даны на рисунках 4 а), б).

а) б)

Рис. 4.

3. Пусть - дискретное метрическое пространство и - фиксированная точка и . Тогда , а сфера .

Если , то . Сфера .

4. Пусть множество А задается условием:

.

Определим метрику на формулой:

.

Тогда открытым шаром с центром в точке (1,0) радиуса 1 в является множество: . Замкнутый шар - множество

.

Определение 7. Пусть . Множество называется открытым в метрическом пространстве , если для любой точки существует открытый шар такой, что .

Примеры

1.  , открыты в .

2.  Открытый шар является открытым множеством в .

Доказательство 2.

Пусть . Тогда .Рассмотрим открытый шар . Для любого .

Из неравенства треугольника получим, что , т. е. шар . Следовательно, шар является открытым множеством.

Отметим следующие свойства открытых множеств, доказательство которых вытекает из определения 7:

1)  Объединение любого множества открытых в множеств открыто в .

2)  Пересечение конечного числа открытых множеств открыто в .

Замечание: Пересечение бесконечного семейства открытых множеств может не быть открытым в .

Пример

На действительной прямой пересечение открытых интервалов . Множество не является открытым в .

Определение 8. Пусть . Множество называется окрестностью точки , если существует шар такой, что .

Если - окрестность точки , то будем писать . Окрестность называется открытой окрестностью точки , если множество открыто в . Множество называется проколотой окрестностью точки .