Глава I. Элементы общей топологии (стр. 8 )

Множество называется ограниченным в , если его диаметр конечен.

Например, .

1.7. Внутренние, внешние и граничные точки множества

Пусть - метрическое пространство и .

Определение 16. 1) Точка называется внутренней точкой множества , если существует шар такой, что . Множество внутренних точек называется внутренностью множества и обозначается .

1)  Внутренняя точка дополнения называется внешней точкой множества .

2)  Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее окрестности содержится по крайней мере одна точка и по крайней мере одна точка дополнения, т. е. выполняются условия: и . Множество всех граничных точек называется границей множества и обозначается .

Примеры

1. , .

2. ,

Отметим, что (доказать самостоятельно). Следовательно, является замкнутым множеством в .

1.8. Подпространства метрического пространства.

Пусть - метрическое пространство и .

Определение 17. Сужение определяет метрику на и эта метрика называется индуцированной в метрикой пространства . Метрическое пространство называется подпространством пространства .

Пусть и - открытый шар в . Тогда пересечение является открытым шаром в подпространстве .

Следующее утверждение характеризует открытые и замкнутые подмножества, а также окрестности точек в подпространстве .

Теорема 6.

1)  Для того, чтобы множество было открытым (замкнутым) в подпространстве необходимо и достаточно, чтобы существовало такое множество , открытое (замкнутое) в пространстве , что .

2)  Пусть . Для того, чтобы подмножество было окрестностью точки в необходимо и достаточно, чтобы , где - окрестность точки в .

Доказательство 1)

Доказательство 1) проведем для открытых множеств.

Необходимость. Пусть множество открыто в подпространстве. Тогда существует открытый шар с центром в точке и радиуса в подпространстве, т. е. такой, что , - шар в . Тогда , где - открыто в .

Достаточность. Пусть, где - открыто в , и . Так как открыто в , то существует . Следовательно, , т. е. открыто в подпространстве .

Доказательство части 2) теоремы провести самостоятельно.

Замечание. Пусть - полное пространство и замкнуто. Тогда подпространство является полным.

Доказательство

Рассмотрим произвольную последовательность Коши , где . Тогда в силу полноты пространства существует . Так как замкнуто, то , что по определению равносильно полноте .