Глава I. Элементы общей топологии (стр. 4 )

Определение 5 является отношением эквивалентности на множестве метрик, задаваемых на . Проверку соотношений: а) ; b) ; c) произвести самостоятельно.

Теорема 2. Пусть, - два метрических пространства и метрики и эквивалентны (). Тогда будут равносильными следующие условия:

1) в в .

2) Последовательность - последовательность Коши в - последовательность Коши в .

3) Пространство полно пространство полно.

Доказательство следует из определения эквивалентных метрик.

1.3.Сходимость в

В были определены три метрики (п.1.1).

- евклидова метрика,

,

.

Неравенство показывает, что эти метрики эквивалентны.

Рассмотрим последовательность , где , т. е. . Последовательности , , называются координатными последовательностями последовательности .

Пусть . Имеет место следующее утверждение.

Теорема 3.

1) Последовательность элементов пространства сходится в к вектору тогда и только тогда, когда все координатные последовательности сходятся к координатам вектора в , т. е.

.

2) Последовательность является последовательностью Коши в тогда и только тогда, когда координатная последовательность является последовательностью Коши в .

3) Пространства , , являются полными.

Доказательство

Проведем доказательство для пространства .

1) Необходимость. Дано: . Тогда . Переходя к пределу при , получим .

Достаточность. Дано: . Рассмотрим вектор .Тогда . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим , т. е. в .

2) Необходимость следует из неравенства .

Достаточность. Так как является последовательностью Коши в , то для любого существует номер такой, что для всех и для всех . Тогда для всех .

3) Утверждение теоремы следует из 1), 2) и критерия Коши сходимости в . Теорема 3 доказана.

Пример. Найти в .

Решение

В соответствии с теоремой 3 получим:

.

1.4. Окрестности и открытые множества в метрическом пространстве.

Пусть - метрическое пространство.

Определение 6. Открытым шаром с центром в точке и радиуса называется множество .

Соответственно, замкнутый шар - множество

.

Сферой с центром в точке радиуса называется множество