Глава I. Элементы общей топологии (стр. 7 )

4)

Замечание. Может случиться, что . Например, . Тогда , но .

Доказательство этих свойств опирается на определения входящих в них множеств. Например, докажем, что в свойстве 2) имеет место включение:.

Доказательство

Пусть ,

т. е. . Обратное включение проверить самостоятельно.

Определение 12. Множество замкнуто в метрическом пространстве, если .

Пусть . Дополнение множества до множества будем обозначать . Следующее утверждение характеризует замкнутые множества.

Теорема 5. Следующие предложения эквивалентны:

1)  множество замкнуто в пространстве .

2)  дополнение множества до , т. е. открыто в .

3)  .

Доказательство

Доказательство проведем по следующей схеме: .

Рассмотрим . Так как , то . Следовательно, существует окрестность такая, что . Тогда , т. е. открыто.

Так как открыто, то . Можно сделать вывод, что .

Так как , то . Теорема 5 доказана.

Примеры

1.  Множества , замкнуты в .

2.  Отрезок является замкнутым множеством на действительной прямой.

3.  Замкнутый шар является замкнутым множеством.

Доказательство 3.

Достаточно доказать, что дополнение в является открытым множеством.

Возьмем . Тогда . Рассмотрим открытый шар . Для любой точки выполняется условие (*).

Из неравенства треугольника

получим: .

Используя неравенство (*), получим оценку:

,

т. е. . Следовательно, шар , т. е. множество открыто.

4. Сфера замкнута в .

Доказательство 4.

Так как имеет место представление и множество открыто в , то замкнута в .

Замечание: Может случиться, что замыкание открытого шара не совпадает с замкнутым шаром (смотрите пример 4 п. 1.4 )

Среди точек множества выделяются изолированные точки.

Определение 13. Точка называется изолированной точкой множества , если существует окрестность этой точки такая, что пересечение .

Примеры

1)  Дискретное пространство состоит только из изолированных точек.

2)  Множество состоит из изолированных точек на действительной прямой.

1.6. Расстояние между множествами. Ограниченные множества.

Пусть - непустые подмножества.

Определение 14. Расстоянием между множествами и называется неотрицательное число .

Отметим, что если , то , но обратное утверждение неверно.

Пример. Пусть , . Тогда , но .

Пусть - непустое подмножество.

Определение 15. Диаметром множества называется величина

.