Глава I. Элементы общей топологии (стр. 3 )

2. . Докажем, что последовательность является последовательностью Коши в этом пространстве.

Решение

По определению последовательности Коши необходимо проверить выполнение условия:

.

Пусть . Тогда

,

если n достаточно велико.

3. Докажем, что последовательность функций, , где

,

является последовательностью Коши в пространстве с интегральной метрикой.

Доказательство 3.

Если, то .

Вычисляя интегралы, получим:

.

Если достаточно велико, то будет сколь угодно малым. Cледовательно, последовательность является последовательностью Коши.

4. В дискретном метрическом пространстве последовательностями Коши являются только стационарные последовательности.

Теорема 1. Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве является последовательностью Коши. Обратное утверждение неверно.

Доказательство

Пусть . Возьмем произвольное .Тогда

,

если достаточно велики, что и доказывает теорему.

Как показывает пример 3, обратное утверждение не имеет места.

Определение 5. Метрическое пространство называется полным, если всякая последовательность Коши в этом пространстве является сходящейся.

Примеры

1. действительная прямая является полным пространством.

2. Дискретное метрическое пространство является полным.

3. Пространство непрерывных функций с интегральной метрикой не является полным.

4. Пространство является полным.

Докажем 4.

Пусть последовательность функций является последовательностью Коши в с равномерной метрикой. Тогда имеет место неравенство , если и достаточно велики. Следовательно, последовательность является последовательностью Коши в и, по критерию Коши, существует , причем, так как

, ,

если и достаточно велики, то переходя в этом неравенстве к пределу при , получим: .

Докажем, что функция является непрерывной на отрезке . Возьмем произвольную точку . Имеем:

.

Тогда

,.

Фиксируем номер , удовлетворяющий последним двум неравенствам. Из непрерывности функции в точке следует, что для любой окрестности существует окрестность точки такая, что .

Тогда , т. е. непрерывна в точке . Так как точка - произвольная точка отрезка , то .

Следовательно,

,

т. е. . Можно сделать вывод, что любая последовательность Коши в с равномерной метрикой является сходящейся в, т. е. пространство является полным.

Другие примеры полных пространств будут получены в следующем параграфе.

Определение 5. Пусть - произвольное множество и - две метрики на . Метрика равномерно эквивалентна метрике , если существуют постоянные , такие, что для всех имеет место неравенство: . Если эквивалентна , то пишем .

Поскольку в дальнейшем не будет рассматриваться иное понятие эквивалентных метрик, кроме понятия равномерно эквивалентных, то для краткости равномерно эквивалентные метрики будем называть эквивалентными.