Глава I. Элементы общей топологии (стр. 6 )

В частности, открытый шар является открытой окрестностью точки и его называют -окрестностью точки .

Свойства окрестностей

Следующие свойства окрестностей вытекают из определения 6:

1)  Объединение любого множества окрестностей точки является окрестностью точки .

2)  Пересечение конечного множества окрестностей точки является окрестностью точки .

3)  Для того, чтобы множество было окрестностью каждой своей точки, необходимо и достаточно, чтобы было открыто в .

Доказательство 3)

Достаточность следует из определения 6.

Необходимость. Пусть окрестность каждой своей точки. Тогда существует открытый шар такой, что . Тогда . Следовательно, - открытое множество. Свойство 3) доказано.

4)  Пусть и . Существуют окрестности , такие, что .

Доказательство 4)

По определению метрики, . Рассмотрим открытые шары и. Если точка , то

.

Получим противоречивое неравенство:.

Следовательно . Свойство 4) доказано.

Свойство 4) называется свойством отделимости метрического пространства .

Определение 9. Пусть . Открытой окрестностью множества называется любое открытое множество, содержащее , а окрестностью множества - любое множество, содержащее открытую окрестность .

Если множество является окрестностью , то в дальнейшем будем писать .

1.5. Замыкание множества. Замкнутые множества

Пусть - метрическое пространство и .

Определение 10. Точка называется предельной точкой множества , если в любой проколотой окрестности точки содержатся точки из , т. е. . Множество предельных точек множества называется производным множеством и обозначается .

Определение предельной точки можно сформулировать в следующем виде:

.

Следующая теорема характеризует предельные точки.

Теорема 4. Точка является предельной точкой множества тогда и только тогда, когда существует последовательность , , такая, что .

Доказательство

Необходимость. Пусть . Тогда пересечение .

Пусть . Так как , то .

Достаточность. Пусть - такая последовательность, что , и .

Рассмотрим любую окрестность . Так как , то существует номер такой, что для всех , . Следовательно, . Теорема 4 доказана.

Пример. Пусть . Тогда .

Определение 11. Точка называется точкой прикосновения множества , если в любой окрестности этой точки содержатся точки из , т. е. . Множество точек прикосновения называется замыканием множества и обозначается .

Свойства замыкания.

1) ,

2)

3)