Глава I. Элементы общей топологии (стр. 9 )

1.9 Пределы отображений. Непрерывные отображения.

Рассмотрим два метрических пространства, и отображение , где . Пусть a – предельная точка множества D, т. е. .

Определение 18. Точка называется пределом отображения f , когда x стремится к a по множеству D, и это записывается в виде ,

если для любой окрестности существует окрестность такая, что для всех .

Краткая запись определения 18 имеет вид:

.

Так как каждая окрестность некоторой точки содержит -окрестность этой точки, то определение 18 можно записать на языке «»:

.

Если и , то имеем определение предела функции одного действительного переменного.

Так как метрическое пространство удовлетворяет условию отделимости, то предел единственен.

Теорема 7. Следующие предложения эквивалентны:

1. .

2. Для любой сходящейся в последовательности точек , , последовательность их образов сходится в и .

Доказательство единственности предела и теоремы 7 дословно повторяет доказательство этих утверждений для функций из в .

Определение 19. Пусть . Отображение f непрерывно в точке если для любой окрестности существует окрестность такая, что .

На языке «» это определение можно записать в эквивалентной форме:

(отображение f непрерывно в точке )

Определение 20. Отображение f непрерывно на множестве D, если f непрерывно в каждой точке множества D.

Пример

Докажем, что метрика непрерывна на .

Решение

Рассмотрим точки, . Тогда по третьей аксиоме метрики имеем:

и .

Из этих двух неравенств следует, что. Аналогично получим неравенство: .

Оценим модуль разности:

.

Если , то . Можно сделать вывод, что d непрерывна в точке . Ввиду того, что -- произвольная точка множества , d непрерывна на .

Множество отображений, непрерывных на D, будем обозначать .

Теорема 8. Следующие предложения эквивалентны:

1) отображениенепрерывно на множестве D, т. е. ;

2) для любого открытого множества , прообраз открыт в подпространстве ;

3) для любого замкнутого множества , прообраз замкнут в

подпространстве .

Доказательство

Напомним, что множество A открыто (или замкнуто) в подпространстве , если , где - открыто (или замкнуто) в .

Докажем, что

Необходимость. Пусть . Рассмотрим любое множество , открытое в . Мыслимы две возможности:

1)
2)

Если выполняется 1), то пустое множество открыто в подпространстве.

2) Пусть и возьмем любую точку . Так как f непрерывно в точке a, то существует открытый шар в такой, что образ или .

Следовательно,.

Таким образом, множество открыто в и - открытое множество в подпространстве .

Достаточность. Пусть прообраз любого открытого множества в открыт в подпространстве . Возьмем . Рассмотрим произвольную открытую окрестность точки . Для ее прообраза имеем: =. Тогда . Так как всякая окрестность содержит открытую окрестность, то f непрерывна в произвольной точке . Следовательно, .

Эквивалентность 2)3) следует из равенства , т. е. дополнение прообраза совпадает с прообразом дополнения.

Замечание. В теореме 8 прообразы нельзя заменить образами. Например, если , тогда , т. е. образом открытого множества не является открытым множеством.

Вместе с тем, имеет место следующее утверждение:

Теорема 9. Непрерывность отображения равносильна тому, что образ замыкания любого подмножества области определения содержится в замыкании его образа, т. е.:

()

Доказательство

Необходимость. Множество замкнуто в . Тогда множество замкнуто в и . Следовательно, . Тогда .

Достаточность. Докажем, что из условий теоремы 9 следует утверждение 3 теоремы 8.

Пусть множество замкнуто и . Тогда и . Следовательно, по условиям теоремы 9 . Из последнего включения получаем, что . Следовательно, , т. е. множество замкнуто. Получили, что прообраз замкнутого множества есть замкнутое множество . Ввиду произвольности выбора множества по утверждению 3) теоремы 8 это равносильно непрерывности отображения на множестве . Теорема 9 доказана.