Глава I. Элементы общей топологии (стр. 1 )

ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ

1. Метрические пространства

1.1. Основные определения и примеры

Пусть - некоторое множество.

Определение 1. Метрикой или расстоянием на множестве Е называется отображение , удовлетворяющее следующим условиям:

1)

2) (условие симметрии)

3) (неравенство треугольника)

Пара , состоящая из множества и заданной на метрики (или расстояния) называется метрическим пространством. Условия 1) - 3) будем в дальнейшем называть аксиомами метрики.

Примеры

1. . Функция задает расстояние на множестве действительных чисел. Метрическое пространство называется действительной прямой.

2. . Функция также задает метрику на . В дальнейшем будет показано, что свойства метрического пространства отличаются от свойств действительной прямой.

3. - произвольное множество. Отображение определим равенством:

Аксиомы метрики 1)- 3) из определения 1 легко проверяются. Рассмотренное в этом примере метрическое пространство называется дискретным метрическим пространством.

4.

Если , то числа называются координатами точки . Точки называют еще векторами, так как пространство , наделенное операциями суммы и умножения на число

,

действительно есть -мерное векторное пространство над полем действительных чисел .

Определение 2. Функция

называется скалярным произведением векторов из .

Свойства скалярного произведения

Следующие свойства скалярного произведения вытекают из его определения:

1), причем

2) (симметрия )

3),

,

,

(т. е. скалярное произведение является билинейной формой на , как будет показано позднее).

4) Имеет место неравенство Коши-Буняковского-Шварца:

Доказательство 4)

Пусть . Тогда

.

В правой части неравенства стоит квадратный трехчлен относительно , неотрицательный при всех . Следовательно, дискриминант удовлетворяет неравенству , которое равносильно неравенству Коши-Буняковского-Шварца.

5)

Доказательство 5)

Имеет место следующая оценка:

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого неравенства, получим требуемое.

Пусть ,.Определим метрику в одной из следующих формул:

1)

2)

3)

Аксиомы метрики для функций легко проверить непосредственно, неравенство треугольника для метрики следует из неравенства Коши-Буняковского-Шварца. Метрика называется евклидовой метрикой в , а пространство - евклидовым пространством.

Отметим, что метрики удовлетворяют следующему неравенству:

.

В дальнейшем будем рассматривать с одной из этих метрик.

5. Пусть - множество функций, непрерывных на отрезке . Пусть . Определим расстояние между функциями и формулой:

.

Выполнение аксиом метрики из определения 1 легко проверить. Эта метрика называется равномерной метрикой на множестве . Получили метрическое пространство .

6. Пусть. Зададим метрику на формулой

.

В дальнейшем будем называть ее интегральной метрикой. Выполнение первой аксиомы метрики следует из следующего свойства интеграла Римана: пусть функция интегрируема по Риману и неотрицательна на отрезке , т. е., на . Если существует точка такая, что непрерывна в точке и , то .