Введение в математический анализ дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 2 )

при выражение и, значит,

.

Вернёмся к пределу из условия:

(использована теорема о пределе показательно-степенной функции). #

Пример 7. Вычислить .

Ñ Основание степени , а показатель степени . Имеет место неопределённость. В этом случае возможно использование второго замечательного предела в форме . Рассмотрим новую переменную . Заменим . Тогда

.

При . Запишем предел из условия в следующем виде:

. #

Пример 8. Вычислить .

Ñ При являются бесконечно большими функциями. Разность двух бесконечно больших функций требует исследования. Преобразуем

.

Используем эквивалентность :

.

.

Числитель и знаменатель разделили на x. #

Пример 9. Дана функция . Установить, является ли эта функция непрерывной или разрывной в точках В случае разрыва функции установить характер точки разрыва. Построить схематичный график.

Ñ Данная функция является элементарной, следовательно, она непрерывна во всех точках области определения. Область определения: все действительные числа, кроме х = 2 (условие существования дроби).

Таким образом, является точкой области определения элементарной функции и, значит, точкой непрерывности, – точка разрыва, так как функция в ней не определена. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы:

Так как левосторонний предел функции в точке х = 2 имеет бесконечное значение, то х = 2 – точка разрыва II рода.

Для уточнения графика вычислим:

Схематичный график изображён на рис. 1. #

Пример 10. Найти производные данных функций:

а) б) в)

г) д) е) .

Ñ Для вычисления производных необходимо твёрдо знать правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций. Строгое соблюдение этих правил – залог успешного решения задач. При нахождении производных старайтесь обходиться без лишних записей.

Использованы правила дифференцирования суммы и формула

.

Использованы правило дифференцирования дроби и формула

Использованы формулы:

Использованы формулы:

.

е) #

Пример 11. Найти , если

Ñ Функция вида называется степенно-показательной. Её производную находим методом логарифмического дифференцирования. Сначала функцию логарифмируют:

Полученное равенство дифференцируют по х:

.

Чтобы найти умножают полученное равенство на

#

Пример 12. Найти функции, заданной неявно .

Ñ Если независимая переменная х и функция y связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно y, то y называют неявной функцией х. Для нахождения производной неявной функции дифференцируют по х обе части равенства . При этом учитывается, что .

– этим уравнением задана неявно функция y переменной х.

Дифференцируем данное равенство:

Разрешим полученное равенство относительно , для этого раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, содержащие :

Þ Þ

Þ .

Из полученного равенства выражаем