Введение в математический анализ дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 4 )

Результаты исследования с помощью и можно представить в виде общей таблицы:

х		2		3
	+		+	0	-
	+	0	-		-
y				1
		перегиб		max

IV.  Построение графика начинаем с построения асимптот. Затем наносим точки экстремума, точки перегиба. После этого рисуем график, опираясь на результаты исследования (монотонность, выпуклость, вогнутость). График функции изображён на рис. 2.

Дополнительные точки:

пересечение с OY: х = 0; у =

пересечение с OХ: у = 0; х = 4. #

Замечание: В учебной литературе приводятся разные схемы исследования функции. При решении задач можно придерживаться любой из них.

Пример 17. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

а) , б) , в)

Ñ Сущность этого правила состоит в том, что в случае неопределённостей вида или вычисление предела отношения функций при соблюдении требований теоремы Лопиталя заменяется вычислением предела отношения их производных, которое в большинстве случаев оказывается проще: . Используя правило Лопиталя, не нужно забывать о других приёмах вычисления пределов.

а)

При – бесконечно большие величины одного и того же знака, поэтому мы имеем неопределённость вида .

Преобразуем разность

б) .

При является бесконечно большой величиной, а – бесконечно малой. Имеем неопределённость вида .

Так как , то

в) .

Имеет место неопределённость вида . Чтобы свести эту неопределённость к виду или , прологарифмируем данное выражение, обозначив его через А: .

Так как то то есть . #

Замечание: Неопределённости вида раскрываются таким же приёмом.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Вычислить предел без правила Лопиталя:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) .

2. Исследовать на непрерывность следующие функции, установить характер точек разрыва, построить схематически график:

а) ; б) ; в) .

3. Найти производные следующих функций:

а) ; б); в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) .

4. Тело движется по закону . Найдите ускорение в момент времени .

5. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

6. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой, заданной параметрически , в точке, соответствующей параметру .

7. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя:

а) ; б) ; в) .

8. Исследовать функцию на монотонность, экстремум:

а) ; б) .

9. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость:

а) ; б) .

10. Найти асимптоты:

а) ; б) ; в) .

ОТВЕТЫ

1.  а) ; б) 0,7; в) 0; г) 2; д) -2; е) ; ж) 2.

2.  а) функция непрерывна при ; б) - точка разрыва II рода;

в) - точка разрыва II рода.

3.  а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) .

4. . 5. . 6. , .

7. а) 3; б) 0; в) .

8. а) , ; б) .

9. а) - точка перегиба, выпуклость при , вогнутость при ; б) точек перегиба нет, выпуклость при , вогнутость при .

10. а) , ; б) , ; в) , .

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА

(I семестр)

1.  Вычислить определитель:

2.  Даны точки А (1, 1, –3), B (0, 2, 1), C (5, 0, 1), D (2, 2, 1). Найти

а) ; б) и .

3.  Найти (без правила Лопиталя).

4.  Найти (по правилу Лопиталя).

5.  Найти производную:

а) ; б) ; в) .

6.  Найти экстремум функции .

7.  Написать уравнение прямой, проходящей через точки А (2, –5, 1), В (4, 0, –8).