§2 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для работы над учебным материалом рекомендуется ответить письменно на теоретические вопросы и внимательно ознакомиться с предложенными образцами решений типовых задач (соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы № 2 представлено в таблице 1).

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ КОНСПЕКТИРОВАНИЯ

1. Действительные функции действительной переменной.

1.  Понятие функции. Область определения, область значений, график функции. Основные характеристики функций: возрастание, убывание, периодичность. Обратная функция. Привести примеры.

2.  Основные элементарные функции. Их свойства, графики. Определение элементарной функции. Привести пример элементарной и неэлементарной функций.

2. Предел и непрерывность.

3.  Предел функции в точке и на . Односторонние пределы. Определение и геометрическая иллюстрация.

4.  Бесконечно большие (б. б.) функции. Бесконечно малые (б. м.) функции. Определение, геометрическая иллюстрация. Примеры. Связь б. м. и б. б. функций. Свойства бесконечно малых функций. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.

5.  Основные теоремы о пределах. Единственность предела функции в точке, предел суммы, разности, произведения и частного функций.

6.  Первый и второй замечательный пределы.

7.  Сравнение бесконечно малых функций. Привести примеры.

8.  Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

9.  Важнейшие эквивалентности. Использование при вычислении пределов. Привести примеры.

10.  Непрерывность функций в точке, на интервале, на отрезке.

11.  Точки разрыва функции. Их классификация. Привести геометрическую иллюстрацию для всех случаев.

12.  Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

13.  Задачи, приводящие к понятию производной: скорость прямолинейного движения, касательная к кривой.

14.  Определение производной, её механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.

15.  Понятие дифференцируемой функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Привести пример непрерывной, но не дифференцируемой в точке функции.

16.  Производная суммы, произведения и частного функций. Производные основных элементарных функций. Производная обратной функции и сложной функции.

Замечание: Таблицу производных основных элементарных функций следует выучить наизусть!!!

17.  Дифференцирование функций, заданных параметрически. Метод логарифмического дифференцирования.

18.  Производные высших порядков функций, заданных явно, параметрически.

19.  Дифференциал функции (определение, вычисление, геометрический смысл). Применение дифференциала к приближённым вычислениям.

20.  Теоремы о дифференцируемых функциях (т. Ролля, т. Коши, т. Лагранжа).

21.  Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условия возрастания и убывания функции.

22.  Экстремум функции. Определение. Необходимое и достаточное условия экстремума.

23.  Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

24.  Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

25.  Асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных, наклонных, горизонтальных асимптот.

26.  Общая схема исследования функции.

27.  Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей различного вида.

28.  Формулы Тейлора для многочлена и произвольной функции.

Таблица 1

Соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы

Тема

Теоретические вопросы

Образец решения задач

Задачи контрольной работы

Понятие функции. Основные элементарные функции. Элементарные и неэлементарные функции.

№№ 1 – 2

Непрерывные функции. Предел функции в точке и на бесконечности.

№№ 3 – 10

№№ 1 – 8

№№ 000 – 120

Основные теоремы о непрерывных функциях. Точки разрыва, их классификация. Исследование функции на непрерывность.

№№ 10 – 12

№ 9

№№ 000 – 130

Производная и дифференциал функции действительной переменной.

№№ 13 – 19

№№ 10 – 13

№№ 000 – 160

Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения.

№№ 20, 27, 28

№№ 14, 17

№№ 000 – 180

Исследование функции методами дифференциального исчисления

№№ 21 – 26

№№ 15,16

№№ 000 – 210

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Вычислить

Ñ Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим на , но :

. #

Пример 2. Вычислить .

Ñ Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённости . При наличии иррациональных выражений рекомендуется перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и после этого выполнить упрощение:

#

Пример 3. Вычислить

Ñ При числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции. Для раскрытия неопределённости рекомендуется разделить числитель и знаменатель на старшую степень х, встречающуюся в членах дроби. Разделим числитель и знаменатель на :

#

Пример 4. Вычислить

Ñ Подстановка предельного значения приводит к неопределённости вида . Наличие тригонометрических функций говорит о возможности использования первого замечательного предела и следующей из него эквивалентности ~ x, при . Для этого выполним следующие преобразования:

.

#

Пример 5. Вычислить .

Ñ При числитель дроби – бесконечно малая функция, а знаменатель представляет собой произведение бесконечно малой функции на бесконечно большую (ctgx – бесконечно большая функция при ). Наличие тригонометрических функций говорит о возможности использования первого замечательного предела , его следствия и следующих эквивалентностей: ~ tgx ~ arctgx ~ x, при . Для этого заменим ctgx = :

. #

Пример 6. Вычислить .

Ñ Основание степени при . Таким образом, имеет место неопределённость . В этом случае возможно использование второго замечательного предела: . Для этого перепишем основание степени в другом виде:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4