Введение в математический анализ дифференциальное исчисление функции одной переменной (стр. 3 )

#

Пример 13. Найти и функции, заданной параметрически

.

Ñ Производная функции, заданной параметрически, выражается через производные следующим образом: . При повторном дифференцировании по х получаем формулу . Эти формулы позволяют находить производную функции, заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости y от х.

#

Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Ñ – непрерывная на функция. Следовательно, она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо в критической точке внутри отрезка , либо на границах отрезка в точках .

Найдём критические точки данной функции , принадлежащие интервалу :

.

обращается в 0 при условии:

Интервалу принадлежит . Вычислим значения функции в точках :

; ;.

Среди полученных значений наибольшим является , а наименьшим значением является . #

Пример 15. Найти экстремумы функции и указать промежутки возрастания и убывания.

Ñ Область определения функции – все действительные числа. Для ответа на вопросы об экстремумах и монотонности функции необходимо исследовать знак первой производной. Находим её:

Производная обращается в 0 при х = 0 и х = 2 (критические точки). Эти точки разбивают всю область определения на три интервала . На рисунке отметим знак производной на каждом из полученных интервалов.

	–	+	–

На интервалах , следовательно, на этих интервалах функция убывает. При , следовательно, на этом интервале функция возрастает.

В соответствии с достаточным условием экстремума – точка минимума, – точка максимума, . #

Пример 16. Исследовать функцию и построить её график.

Ñ Полное исследование функции включает в себя три блока. По результатам исследования строится график.

I.  Область определения функции. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные и наклонные асимптоты. Общие свойства функции (чётность, нечётность, периодичность).

II.  Исследование функции с помощью первой производной (монотонность, экстремумы).

III.  Исследование функции с помощью второй производной (выпуклость, вогнутость, точки перегиба).

IV.  График функции.

Исследуем в предложенном порядке данную функцию.

  I.  Функция элементарная, следовательно, непрерывна в области определения .

Функция не имеет точек разрыва и, значит, не имеет вертикальных асимптот.

Найдём наклонные асимптоты , где

Наклонной асимптоты при функция не имеет:

Следовательно, y = 0 – асимптота при .

То есть функция не является ни чётной, ни нечётной.

  II.

Критические точки: производная обращается в 0 при х = 3. Исследование знаков производной и поведения функции оформим в виде таблицы:

х		3
	+	0	-
y		1
		max

Для определения максимума, найдём значение функции в точке максимума y(3) = 1.

  III.

Вторая производная обращается в 0 при х = 2. Исследование знака второй производной и соответствующие выводы оформим в виде таблицы:

х		2
	+	0	-
y	вогнутая		выпуклая
		перегиб

Значение функции в точке перегиба: y(2) = .