Уравнения математической физики (стр. 3 )

Тема 1. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Классические и обобщенные решения. Основные определения в уравнениях математической физики. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка; первый интеграл; понятие решения уравнения в частных производных (УЧП).

Тема 2. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач. Описание малых колебаний бесконечной нерастяжимой однородной струны; линейное одномерное уравнение теплопроводности; телеграфное уравнение; уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости; первая, вторая и третья краевые задачи.

Тема 3. Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка. Канонический вид линейного УЧП второго порядка; эллиптичность; параболичность и гиперболичность; примеры приведения к каноническому виду в двумерном и многомерном случаях.

Тема 4. Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Доказательство существования решения. Определение характеристики для линейного УЧП второго порядка; постановка задачи Коши для УЧП второго порядка; уравнения в форме Коши; уравнения в форме Рикье; теорема Коши-Ковалевской; доказательство существования решения задачи Коши.

Тема 5. Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования. Постановка задачи Коши для уравнения Даламбера; условия на характеристиках; гладкость решения в зависимости от гладкости начальных условий; граничные условия для уравнения Даламбера; метод характеристик применительно к задаче о колебаниях полубесконечной струны; метод Даламбера; условия согласования граничных и начальных данных.

Тема 6. Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны. Основные положения метода Фурье; алгоритм применения метода Фурье к задаче о малых колебаниях ограниченной струны; произвол в решении задачи Неймана.

Тема 7. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Доказательство полноты системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта. Постановка и решение задачи Штурма-Леувилля; собственные функции и собственные значения оператора Штурма-Леувилля. Функция Грина задачи Штурма-Леувилля; утверждение о полноте системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта.

Тема 8. Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристический конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных. Волновое уравнение; характеристики; конус Монжа; теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных, её следствия; область единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.

Тема 9. Строго гиперболические линейные системы уравнений в частных производных. Симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы первого порядка. Интеграл энергии для звуковых волн. Постановка начальных и смешанных задач для симметрических t-гиперболических систем уравнений первого прядка. Уравнение и неравенство Гамильтона-Якоби. Уравнения акустики. Определения гиперболичности по Петровскому и по Фридрихсу; Строгая гиперболичность линейных систем УЧП; симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы первого порядка; уравнения распространения звуковых волн; интеграл энергии для уравнений акустики; корректная постановка смешанных задач для симметрических t-гиперболических систем первого порядка; характеристические поферхности; уравнение и неравенство Гамильтона-Якоби; неотрицательность квадратичной формы в области единственности решения задачи Коши для уравнений акустики.

Тема 10. Формула Кирхгофа решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение колебаний в R. Передний и задний фронт волны. Вывод формулы Киргофа для решения задачи Коши в пространстве; бегущие волны; передний и задний волновой фронт.

Тема 11. Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение волн в R и R. Область зависимости решений от начальных данных. Метод спуска; вывод формулы Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения на плоскости; распространение волн на плоскости и на прямой; определение области зависимости решения от начальных данных.

Тема 12. Вывод уравнения теплопроводности. Физический смысл краевых условий. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в цилиндре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий. Вывод уравнения теплопроводности из физической постановки задачи; описание физического смысла краевых условий; смешанная краевая задача; принцип максимума в цилиндре; теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий.

Тема 13. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе ограниченных в слое функций. Постановка и примеры задач Коши для уравнения теплопроводности; поиск решения в классе ограниченных в слое функций и теорема единственности для таких решений.

Тема 14. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость решения. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Теорема Тихонова. Применение преобразований Фурье к УЧП; решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с использованием интегральных преобразований Фурье; вывод и обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции; исследование гладкости решения; теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных; Теорема Тихонова; Следствия к теоремам

Тема 15. Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями. Гладкость решения. Применение метода Фурье к решению смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности, при однородных и неоднородных краевых условиях; обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями; гладкость решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Тема 16. Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Получение оценок решения и производных для линейных строго гиперболических систем первого порядка. Понятие об обратимых задачах. Понятие диссипативности граничных условий; построение оценок решения и производных для линейных строго гиперболических систем УЧП первого порядка; необходимые условия разрешимости строго гиперболических систем УЧП первого порядка «назад» по времени.

Тема 17. Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Оценка разностных отношений и компактность приближенных решений для симметрических гиперболических (по Фридрихсу) систем. Теорема существования решения смешанной задачи. Разностные схемы краевых задач для гиперболических (по Фридрихсу) систем УЧП первого порядка; оценки разностных отношений и компактность приближенных решений для таких систем; теорема существования решения смешанной задачи (с доказательством).

Тема 18. Формулы Грина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Представление функции в виде суммы трех потенциалов. Интегральные формулы Грина и их обобщение для линейных сопряженных дифференциальных операторов; фундаментальное решение уравнения Лапласа; формула (Грина) интегрального представления дважды непрерывно дифференцируемой в области Функции с использованием сингулярного решения уравнения Лапласа.

Тема 19. Гармонические функции, их свойства (теорема о потоке, о бесконечной дифференцируемости). Принцип максимума. Лемма о нормальной производной. Гармонические функции; теорема о потоке; поведение гармонических функций в ограниченной и бесконечной областях; теорема о среднем; принцип максимума; лемма о нормальной производной.

Тема 20. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи Дирихле в ограниченной области, условие существования решения задачи Неймана. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа; единственность решения задачи Коши для уравнения Лапласа в ограниченной области; условие существования решения задачи Неймана для уравнения Лапласа.

Тема 21. Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана. Исследование единственности. Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана (для уравнения Лапласа); исследование единственности их решения; примеры постановок с решениями.

Тема 22. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ее симметрия. Функция Грина шара в Rn. Обоснование формулы Пуассона. Поняитие функции источника задачи Дирихле для уравнения Лапласа; её свойства; построение функции Грина методом отражений для простых областей; функция Грина для шара в n-мерном пространстве; обоснование формулы Пуассона.

Тема 23. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций. Неравенство Харнака. Теорема Леувилля. Устранение особенности для гармонических функций; наравенство Харнака; теорема Леувилля; следствия из данных теорем.