Уравнения математической физики (стр. 5 )

1)  Исследование поведения гармонических функций в ограниченной и бесконечной областях;

2)  Применение теоремы о среднем, принципа максимума и лемма о нормальной производной.

Тема 20. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи Дирихле в ограниченной области, условие существования решения задачи Неймана. (2 часа)

Исследование на практике основных краевые задачи для уравнения Лапласа.

Тема 21. Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана. Исследование единственности. (3 часа)

1)  Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана (для уравнения Лапласа);

2)  исследование единственности их решения.

Тема 22. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ее симметрия. Функция Грина шара в Rn. Обоснование формулы Пуассона. (3 часа)

1)  построение функции Грина, решая соответствующую ей краевую задачу, для круга и полупространства;

2)  построение функции Грина задачи дирихле для уравнения Лапласа методом отражений для простых областей.

Тема 23. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций. Неравенство Харнака. Теорема Леувилля. (2 часа)

Применение наравенства Харнака и теоремы Леувилля.

Тема 24. Оценки производных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Аналитичность гармонических функций. (2 часа)

Разложение в ряд гармонических функций.

Тема 25. Обобщенные производные в смысле Соболева. Пространство , его полнота. (2 часа)

Вычисление производных регулярно заданных обобщенных функций.

Тема 26. Пространство . Неравенство Фридрихса. Нормы и скалярное произведение в и . (2 часа)

Исследование задач и их решений в пространстве Соболева .

Тема 27. Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона с однородными краевыми условиями. (2 часа)

Постановка и исследование обобщеной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в предположении однородности краевых условий

Тема 28. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона вариационными методом. (2 часа)

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, используя вариационные методы.

Тема 29. Обобщенная задача Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями. (2 часа)

Постановка и исследование обобщенной задачи Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями.

Тема 30. Оператор усреднения и его свойства. Теоремы о сходимости последовательностей гармонических функций. Обобщенные гармонические функции, их регулярность. (2 часа)

Применение оператора усреднения; построение обобщенных гармонических функций.

Тема 31. Общее понятие корректной задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Пример Адамара. (2 часа)

Проверка корректности постановок различных задач математической физики.

7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.

8. Примерная тематика курсовых работ

Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.

9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.

Таблица5.

№	Модули и темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов	Кол-во баллов
обязательные	дополнительные
5 семестр
Модуль 1
1	Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Классические и обобщенные решения.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	1-2	2	0-2
2	Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	2-3	2	0-2
3	Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	4	2.45	0-2
4	Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Доказательство существования решения.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	5	2	0-2
5	Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	6	2	0-2
	Всего по модулю 1:	10.45	0-10
Модуль 2
6	Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	7	2	0-2
7	Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Доказательство полноты системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	8-9	2	0-2
8	Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристический конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	10	2	0-2
9	Строго гиперболические линейные системы уравнений в частных производных. Симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы первого порядка. Интеграл энергии для звуковых волн. Постановка начальных и смешанных задач для симметрических t-гиперболических систем уравнений первого прядка. Уравнение и неравенство Гамильтона-Якоби. Уравнения акустики.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	11-12	2	0-2
10	Формула Кирхгофа решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение колебаний в R. Передний и задний фронт волны.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	13	2	0-2
	Всего по модулю 2:	10	0-10
Модуль 3
11	Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение волн в R и R. Область зависимости решений от начальных данных.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	14	2	0-2
12	Вывод уравнения теплопроводности. Физический смысл краевых условий. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в цилиндре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	15	2	0-2
13	Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе ограниченных в слое функций.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	16	2	0-2
14	Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость решения. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Теорема Тихонова.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	17	2	0-2
15	Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями. Гладкость решения.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	18	2	0-2
	Всего по модулю 3:	10	0-10
	ИТОГО за 5 семестр:	30.45	0-30
6 семестр
Модуль 1
16	Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Получение оценок решения и производных для линейных строго гиперболических систем первого порядка. Понятие об обратимых задачах.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	1-2	3	0-2
17	Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Оценка разностных отношений и компактность приближенных решений для симметрических гиперболических (по Фридрихсу) систем. Теорема существования решения смешанной задачи.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	2-3	3	0-2
18	Формулы Грина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Представление функции в виде суммы трех потенциалов.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	4	3	0-2
19	Гармонические функции, их свойства (теорема о потоке, о бесконечной дифференцируемости). Принцип максимума. Лемма о нормальной производной.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	5	3	0-2
20	Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи Дирихле в ограниченной области, условие существования решения задачи Неймана.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	6	3	0-2
	Всего по модулю 1:	15	0-10
Модуль 2
21	Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана. Исследование единственности.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	7	4	0-2
22	Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ее симметрия. Функция Грина шара в Rn. Обоснование формулы Пуассона.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	8-9	3.35	0-2
23	Теорема об устранимой особенности для гармонических функций. Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	10	3	0-2
24	Оценки производных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Аналитичность гармонических функций.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	11-12	3	0-2
25	Обобщенные производные в смысле Соболева. Пространство , его полнота.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	13	3	0-2
26	Пространство . Неравенство Фридрихса. Нормы и скалярное произведение в и .	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	13	3	0-2
	Всего по модулю 2:	19.35	0-12
Модуль 3
27	Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона с однородными краевыми условиями.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	14	3	0-2
28	Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона вариационными методом.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	15	3	0-2
29	Обобщенная задача Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	16	3	0-2
30	Оператор усреднения и его свойства. Теоремы о сходимости последовательностей гармонических функций. Обобщенные гармонические функции, их регулярность.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	17	3	0-2
31	Общее понятие корректной задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Пример Адамара.	Изучение теоретического материала и доступной учебной и научной литературы по актуальным вопросам дисциплины.	Выполнение предложенных для самостоятельной работы заданий	18	3	0-2
	Всего по модулю 3:	15	0-10
	ИТОГО за 6 семестр*:	49.35	0-32
	ИТОГО*:	79.8	0-62

* - с учетом иных видов работ