Уравнения математической физики (стр. 4 )

Тема 24. Оценки производных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Аналитичность гармонических функций. Разложение в ряд гармонических функций; система уравнений Коши-Римана; теорема Леувилля (обобщение).

Тема 25. Обобщенные производные в смысле Соболева. Пространство , его полнота. Обобщенные функции; пространство интегрируемых в квадрате функций; финитные функции; производные регулярно заданных обобщенных функций; Пространство .

Тема 26. Пространство . Неравенство Фридрихса. Нормы и скалярное произведение в и . Пространство Соболева ; вывод неравенства Фридрихса; определения и свойства нормы и скалярного произведения в и .

Тема 27. Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона с однородными краевыми условиями. Постановка и исследование обобщеной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в предположении однородности краевых условий; условия на бесконечности.

Тема 28. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона вариационными методом. Описание основных принципов и определений вариационного исчисления применительно к уравнениям математической физики; решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, используя вариационные методы.

Тема 29. Обобщенная задача Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями. Постановка и исследование обобщенной задачи Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями.

Тема 30. Оператор усреднения и его свойства. Теоремы о сходимости последовательностей гармонических функций. Обобщенные гармонические функции, их регулярность. Определение и свойства оператора усреднения; ядро интегрального оператора усреднения; теоремы о сходимости последовательности гармонических функций; построение обобщенных гармонических функций; дельта-функция; регулярность обобщенных гармонических функций.

Тема 31. Общее понятие корректной задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Пример Адамара. Рассмотрение понятия корректности постановок различных задач математической физики (для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений), его обобщение; пример Адамара.

6. Планы семинарских занятий.

Тема 1. Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Классические и обобщенные решения. (3 часа)

1)  Основные определения в уравнениях математической физики.;

2)  линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка;

3)  первый интеграл;

Тема 2. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач. (3 часа)

1)  Описание малых колебаний бесконечной нерастяжимой однородной струны; линейное одномерное уравнение теплопроводности; телеграфное уравнение;

2)  уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости; первая, вторая и третья краевые задачи.

Тема 3. Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка. (2 часа)

1)  Определение вида линейного УЧП второго порядка;

2)  приведение к каноническому виду в двумерном и многомерном случаях.

Тема 4. Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Доказательство существования решения. (2 часа)

1)  поиск характеристик для линейного УЧП второго порядка; постановка задачи Коши для УЧП второго порядка;

2)  применение теоремы Коши-Ковалевской.

Тема 5. Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования. (2 часа)

1)  решение задачи Коши для уравнения Даламбера; поиск условий гладкости решения.

2)  применение метода характеристик применительно к задаче о колебаниях полубесконечной струны.

Тема 6. Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны. (2 часа)

1)  применение метода Фурье к задаче о малых колебаниях ограниченной струны в отсутствие внешних сил;

2)  применение метода Фурье к задаче о малых колебаниях ограниченной струны под действием внешних сил.

Тема 7. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Доказательство полноты системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта. (4 часа)

1)  решение задач Штурма-Леувилля; поиск собственных функций и собственные значений оператора Штурма-Леувилля;

2)  применение теоремы Гильберта-Шмидта.

Тема 8. Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристический конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных. (2 часа)

построение области единственности и непрерывной зависимости решения волнового уравнения от начальных данных,

Тема 9. Строго гиперболические линейные системы уравнений в частных производных. Симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы первого порядка. Интеграл энергии для звуковых волн. Постановка начальных и смешанных задач для симметрических t-гиперболических систем уравнений первого прядка. Уравнение и неравенство Гамильтона-Якоби. Уравнения акустики. (4 часа)

1)  поиск характеристик и условий на характеристиках для симметрических t-гиперболические по Фридрихсу систем первого порядка;

2)  нахождение инвариантов Римана; корректная постановка смешанных задач для симметрических t-гиперболических систем первого порядка;

Тема 10. Формула Кирхгофа решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение колебаний в R. Передний и задний фронт волны. (2 часа)

1)  применение формулы Кирхгофа;

2)  исследование волнового фронта.

Тема 11. Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение волн в R и R. Область зависимости решений от начальных данных. (2 часа)

Метод спуска для нахождения решения задачи Коши волнового уравнения на плоскости.

Тема 12. Вывод уравнения теплопроводности. Физический смысл краевых условий. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в цилиндре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий. (2 часа)

Применение принципа максимума в цилиндре при решении смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Тема 13. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе ограниченных в слое функций. (2 часа)

Поиск решения в классе ограниченных в слое функций.

Тема 14. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость решения. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Теорема Тихонова. (2 часа)

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с использованием интегральных преобразований Фурье

Тема 15. Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями. Гладкость решения. (2 часа)

Применение метода Фурье к решению смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности, при однородных и неоднородных краевых условиях.

Тема 16. Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Получение оценок решения и производных для линейных строго гиперболических систем первого порядка. Понятие об обратимых задачах. (2 часа)

Построение оценок решения и производных для линейных строго гиперболических систем УЧП первого порядка.

Тема 17. Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Оценка разностных отношений и компактность приближенных решений для симметрических гиперболических (по Фридрихсу) систем. Теорема существования решения смешанной задачи. (2 часа)

Исследование разностные схем краевых задач для гиперболических (по Фридрихсу) систем УЧП первого порядка.

Тема 18. Формулы Грина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Представление функции в виде суммы трех потенциалов. (3 часа)

Построение интегрального представления дважды непрерывно дифференцируемой в области Функции с использованием сингулярного решения уравнения Лапласа для уравнений различных типов.

Тема 19. Гармонические функции, их свойства (теорема о потоке, о бесконечной дифференцируемости). Принцип максимума. Лемма о нормальной производной. (3 часа)