Уравнения математической физики (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математического моделирования

уравнения математической физики

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа

для студентов направления 01.03.03 «Механика и математическое моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы», очная форма обучения

Тюменский государственный университет

2014

Бельмецев математической физики. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.03 «Механика и математическое моделирование», профиль подготовки «Механика жидкости, газа и плазмы», очная форма обучения. Тюмень, 2014 г, 30 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Уравнения математической физики [электронный ресурс]/ Режим доступа: http://www. umk3plus. utmn. ru, свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук ТюмГУ.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: , доктор физико-математических
наук, доцент, заведующий кафедрой
математического моделирования

© Тюменский государственный университет, 2014.

© , 2014.

1. Пояснительная записка

1.1. Цели и задачи дисциплины

Целью курса «Уравнения математической физики» является изучение уравнений математической физики, применяемых в областях, где математическая модель описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

Основная задача учебного курса: изучение комплекса методов, позволяющих создавать и исследовать широкий спектр математических моделей в естествознании. В результате изучение курса студент должен усвоить основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных, методы исследования уравнений и систем линейных уравнений математической физики, иметь представление о методах решения уравнений в частных производных.

1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы

Дисциплина «Уравнения математической физики» – это дисциплина вариативной части Блока 1. Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Алгебра», «Аналитическая геометрия», «Дифференциальная геометрия», «Дифференциальные уравнения», «Общая физика».

Освоение дисциплины «Уравнения математической физики» необходимо при последующем изучении дисциплин «Математические модели в механике сплошной среды», «Математические методы в механике сплошной среды», «Устойчивость и управление движением», «Вариационное исчисление и оптимальное управление», «Нелинейные уравнения с обратной связью».

Таблица 1.

Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4	5	6	7	8
4	Математические модели в механике сплошной среды	+	+	+		+	+	+	+
5	Математические методы в механике сплошной среды	+	+	+	+	+	+	+	+
7	Устойчивость и управление движением	+	+	+	+	+	+	+	+
8	Вариационное исчисление и оптимальное управление	+	+	+	+	+	+	+	+
9	Нелинейные уравнения с обратной связью	+	+	+	+	+	+	+	+

1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими общепрофессиональными компетенциями:

способностью математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постановок классических задач математики и механики (ПК-2);

способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата (ПК-3).

1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать:

– основные понятия теории уравнений в частных производных;

– определения и свойства математических объектов в изученной области;

– формулировки утверждений, методы их доказательства;

– возможные сферы приложения знаний в области уравнений математической физики.

Уметь:

– решать учебные и типовые задачи в области уравнений математической физики;

– корректно ставить краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

Владеть:

– математическим аппаратом математической физики;

– навыками применения современных знаний в данной области.

2. Структура и трудоемкость дисциплины.

Дисциплина «Уравнения математической физики» читается в пятом и шестом семестрах. Формы промежуточной аттестации: в пятом семестре – экзамен, в шестом– экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 академических часа, из них 194,1 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем; 129,9 часов, выделенных на самостоятельную работу.

Таблица 2.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2
Контактная работа:	172,2	95,55	76,65
Аудиторные занятия (всего)	162	90	72
В том числе:
Лекции	90	54	36
Практические занятия (ПЗ)	72	36	36
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Иные виды работ:	10,2	5,55	4,65
Самостоятельная работа (всего):	79,8	30,45	49,35
Общая трудоемкость зач. ед. час	7	3,5	3,5
252	126	126
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)		экзамен	экзамен

3. Тематический план

Таблица 3.

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме	Итого количество баллов
Лекции	Семинарские (практические) занятия	Самостоятельная работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Семестр 5
Модуль 1
1	Задача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. Классические и обобщенные решения.	1-2	4	3	2	13	1.4	0-6
2	Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго порядка: уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач.	2-3	4	3	2	10	1.4	0-6
3	Линейное уравнение с частными производными второго порядка. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классификация линейных уравнений второго порядка.	4	4	2	2.45	9	1.4	0-6
4	Понятие характеристики для линейного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши. Теорема Коши-Ковалевской. Доказательство существования решения.	5	3	2	2	9	1.4	0-6
5	Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зависимости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, методы четного и нечетного продолжения, условия согласования.	6	3	2	2	8	1.4	0-6
	Всего		18	12	10.45	49	7	0-30
Модуль 2
6	Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения колебаний закрепленной струны.	7	4	2	2	9	1.4	0-6
7	Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Доказательство полноты системы собственных функций сведением к теореме Гильберта-Шмидта.	8-9	4	4	2	14	1.4	0-6
8	Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристический конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных.	10	4	2	2	9	1.4	0-6
9	Строго гиперболические линейные системы уравнений в частных производных. Симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы первого порядка. Интеграл энергии для звуковых волн. Постановка начальных и смешанных задач для симметриических t-гиперболических систем уравнений первого прядка. Уравнение и неравенство Гамильтона-Якоби. Уравнения акустики.	11-12	3	4	2	14	1.4	0-6
10	Формула Кирхгофа решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение колебаний в R. Передний и задний фронт волны.	13	3	2	2	8	1.4	0-6
	Всего		18	12	10	45	7	0-30
Модуль 3
11	Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в R. Распространение волн в R и R. Область зависимости решений от начальных данных.	14	4	3	2	9	1.4	0-8
12	Вывод уравнения теплопроводности. Физический смысл краевых условий. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в цилиндре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от начальных и граничных условий.	15	4	3	2	9	1.4	0-8
13	Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Теорема единственности в классе ограниченных в слое функций.	16	4	2	2	9	1.4	0-8
14	Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности при помощи преобразования Фурье. Обоснование формулы Пуассона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость решения. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных. Теорема Тихонова.	17	3	2	2	9	1.4	0-8
15	Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае одной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с нулевыми граничными условиями. Гладкость решения.	18	3	2	2	9	1.4	0-8
	Всего		18	12	10	45	7	0-40
	Итого за семестр (часов, баллов)*:		54	36	28.45	148	21	0 – 100
Семестр 6
Модуль 1
16	Постановка смешанной задачи с диссипативными граничными условиями. Получение оценок решения и производных для линейных строго гиперболических систем первого порядка. Понятие об обратимых задачах.	1-2	3	2	3	9	1.6	0-6
17	Описание разностной схемы и разностных граничных условий. Оценка разностных отношений и компактность приближенных решений для симметрических гиперболических (по Фридрихсу) систем. Теорема существования решения смешанной задачи.	2-3	3	2	3	9	1.6	0-6
18	Формулы Грина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Представление функции в виде суммы трех потенциалов.	3-5	3	3	3	10	1.6	0-6
19	Гармонические функции, их свойства (теорема о потоке, о бесконечной дифференцируемости). Принцип максимума. Лемма о нормальной производной.	4-6	2	3	3	10	1.6	0-6
20	Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи Дирихле в ограниченной области, условие существования решения задачи Неймана.	6-7	2	2	3	9	1.6	0-6
	Всего		13	12	15	47	8	0-30
Модуль 2
21	Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана. Исследование единственности.	7-8	2	3	4	9	1.6	0-5
22	Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ее симметрия. Функция Грина шара в Rn. Обоснование формулы Пуассона.	8-9	2	3	3.35	9	1.6	0-5
23	Теорема об устранимой особенности для гармонических функций. Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля.	9-10	2	2	3	8	1.6	0-5
24	Оценки производных гармонических функций. Теорема Лиувилля. Аналитичность гармонических функций.	10-11	3	2	3	9	1.6	0-5
25	Обобщенные производные в смысле Соболева. Пространство , его полнота.	12	2	2	3	8	1.6	0-5
26	Пространство . Неравенство Фридрихса. Нормы и скалярное произведение в и .	13	2	2	3	8	1.6	0-5
	Всего		13	14	19.35	51	1.6	0-30
Модуль 3
27	Обобщенная задача Дирихле для уравнения Пуассона с однородными краевыми условиями.	14	2	2	3	8	1.6	0-8
28	Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона вариационными методом.	15	2	2	3	8	1.6	0-8
29	Обобщенная задача Дирихле для уравнения Лапласа с неоднородными краевыми условиями.	16	2	2	3	8	1.4	0-8
30	Оператор усреднения и его свойства. Теоремы о сходимости последовательностей гармонических функций. Обобщенные гармонические функции, их регулярность.	17	2	2	3	9	1.4	0-8
31	Общее понятие корректной задачи математической физики. Примеры корректных и некорректных задач. Пример Адамара.	18	2	2	3	9	1.4	0-8
	Всего		10	10	15	42	7.4	0-40
	Итого за семестр (часов, баллов)*:		36	36	49.35	140	25	0 – 100
	Итого (часов, баллов)*:		90	72	79.8	252	46
	из них в интерактивной форме		22	24		46	46

*с учетом иных видов работ