Уравнения математической физики (стр. 7 )

Контрольная работа № 2

1.  Решить задачу: , , , , , .

2.  Привести к каноническому виду систему:
,
где , , и матрицы имеют вид: , , .

3.  Решить задачу Коши: , , , .

6 семестр

Контрольная работа № 3

1.  Решить краевую задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце с центром в начале координат , с граничными условиями: , .

2.  Для заданной функции вычислить
,
где ― некоторая точка из .

3.  Построить функцию Грина для полуполосы .

Контрольная работа № 4

1.  Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом внутри заземленной сферы.

2.  Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной плотностью моментов.

С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Дирихле:
, , .

Примерные вопросы к экзамену

За 5 семестр:

Общие понятия теории уравнений в частных производных. Решение квазилинейных уравнений первого порядка. Задача Коши для квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. Теорема Коши­Ковалевской. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка и приведение их к каноническому виду. Теория Чибрарио (классификация УЧП 2го порядка). Вывод одномерного волнового уравнения. Начальные и граничные условия. Постановки краевых задач. Формула Д’Аламбера, как решение задачи Коши для уравнений акустики и волнового уравнения. Её физический смысл Характеристики системы линейных уравнений в частных производных первого порядка и соотношения на характеристиках в случае двух независимых переменных. Примеры. Метод Фурье решения второй краевой задачи для уравнения Д’Аламбера. Метод Фурье для первой краевой задачи линейного уравнения тепловпроводности. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье. Геометрическая интерпретация уравнений в частных производных первого порядка. Полный интеграл и особые интегралы. Симметрические t-гиперболические по Фридрихсу системы. Интеграл энергии. Примеры. Инварианты Римана для линейных гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка. Приведение к каноническому виду строго гиперболической системы в случае двух независимых переменных. Характеристики системы линейных уравнений в частных производных первого порядка в случае трех независимых переменных. Постановка задачи Коши. Уравнение Гамильтона-Якоби. Понятие о корректности постановок задач. Пример Адамара.

За 6 семестр:

1.  Характеристики линейной системы с тремя независимыми переменными. Симметрические системы.

2.  Система уравнений акустики. Характеристики. Условия на характеристиках. Инварианты Римана.

3.  Смешанные задачи для гиперболических систем первого порядка от двух независимых переменных. Диссипативные граничные условия.

4.  Теорема существования и единственности решения смешанной задачи (с диссипативными краевыми условиями) для симметрической гиперболической системы.

5.  Разностный подход для смешанных задач симметрических t-гиперболических по Фридрихсу систем.

6.  Эллиптические операторы. Сингулярное решение уравнения Лапласа. Интегральное представление дважды непрерывно дифференцируемых функций.

7.  Сопряженные дифференциальные операторы и формулы Грина.

8.  Свойства гармонических функций. (формулировки теорем без доказательства)

9.  Принцип максимума для уравнения Лапласа.

10.  Потенциалы и их свойства.

11.  Функция источника для уравнения Лапласа.

12.  Уравнение теплопроводности (построение). Постановки краевых задач.

13.  Решение начальной задачи для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона для уравнения теплопроводности.

14.  Теорема единственности решения начальной задачи для уравнения теплопроводности.

15.  Принцип максимума для уравнения теплопроводности.

16.  Метод граничных интегральных уравнений в простейшей форме. Интегральное представление внешней задачи типа Неймана для уравнения Лапласа в полупространстве.

10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.

Экзамен проходит в виде собеседования по вопросам билета. Билет состоит из трех вопросов: первый вопрос (В1) – теоретический, второй вопрос (В2) – задача (базовый уровень), третий вопрос (В3) – простейшая задача уравнений математической физики. На подготовку к экзамену отводится не более 90 минут. По билету проводится собеседование, в ходе которого задаются дополнительные вопросы. Ответ на каждый вопрос оценивается по 100бальной шкале. Результирующая оценка рассчитывается по формуле 0,4*В1+0,35*В2+0,25*В3. При результате от 0 до 60 баллов выставляется оценка «неудовлетворительно»; от 61 до 75 – «удовлетворительно»; от 76 до 90 – «хорошо»; от 91 до 100 – «отлично».

Примеры задач (базовый уровень)

1.  Найти общее решение уравнения

2.  Привести к каноническому виду уравнение

3.  Записать систему в матричном виде

Примеры задач (пороговый уровень)

1.  Найти решение краевой задачи с начальными условиями:

2.  Привести к каноническому виду и решить уравнение:

3.  Записать и решить характеристическую систему для системы уравнений:

11. Образовательные технологии.

При изучении дисциплины «Уравнения математической физики» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Уравнения математической физики» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

– практические занятия в диалоговом режиме;

– компьютерное моделирование и практический анализ результатов;

– научные дискуссии;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

12.1 Основная литература:

1.  Тихонов математической физики : учеб. для студ. физ. спец. и спец. "Прикладная математика" / , . - 4-е изд. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с. (40 экз.)

2.  Филиппов в теорию дифференциальных уравнений : учеб. для студ. вузов по группе физ.-мат. напр. и спец. / . - 2-е изд., испр. - Москва: УРСС, 2007. - 240 с. (10 экз.)

12.2 Дополнительная литература:

1.  Никифоров по уравнениям и методам математической физики/ . - Долгопрудный: Интеллект, 2009. - 136 с. (25 экз.)

2.  Кошляков в частных производных математической физики: учеб. пособие для студентов мех.-мат. и физ. фак. ун-тов/ . - Москва: Высшая школа, 1970. - 710 с. (27 экз.)

12.3 Интернет-ресурсы:

1.  Электронная библиотека Попечительского совета механико-математического факультета Московского государственного университета http://lib. mexmat. ru

2.  eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) http://elibrary. ru

13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).

Для работы на практических занятиях необходим пакет программ Maple 16.

14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Аудитория с доской и мелом для лекционных и практических занятий.

15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).

Для более эффективного освоения и усвоения материала рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по той или иной теме до проведения семинарского занятия. Работу с теоретическим материалом по теме с использованием учебника или конспекта лекций можно проводить по следующей схеме:

- название темы;

- цели и задачи изучения темы;

- основные вопросы темы;

- характеристика основных понятий и определений, необходимых для усвоения данной темы;

- список рекомендуемой литературы;

- наиболее важные фрагменты текстов рекомендуемых источников, в том числе таблицы, рисунки, схемы и т. п.;

- краткие выводы, ориентирующие на определенную совокупность сведений, основных идей, ключевых положений, систему доказательств, которые необходимо усвоить.

В ходе работы над теоретическим материалом достигается

- понимание понятийного аппарата рассматриваемой темы;

- воспроизведение фактического материала;

- раскрытие причинно-следственных, временных и других связей;

- обобщение и систематизация знаний по теме.

При подготовке к экзамену рекомендуется проработать вопросы, рассмотренные на лекционных и практических занятиях. и представленные в рабочей программе, используя основную литературу, дополнительную литературу и интернет-ресурсы.