Элементы линейной алгебры (стр. 2 )

. .

Из рассмотренного примера видно, что .

Пример 4. Вычислить и , если , .

Решение. . . Произведение не определено, так как число строк первой матрицы не равно числу столбцов второй.

Приведем некоторые свойства приведенных операций. Некоторые из этих свойств совпадают со свойствами операций над числами.

1) . 2) . 3) . 4) . 5) . 6) .

7) .

Мы уже отмечали, что, вообще говоря, . В том случае, когда равенство есть , например, 6) и 7) свойства, матрицы называются перестановочными. Например, , . , . Матрицы A и B - перестановочные.

5. Возведение в степень. Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение m матриц, равных A, т. е. .

По определению . Следовательно, выполняются свойства: , .

6. Транспонирование матрицы. Если в прямоугольной матрице строки заменить столбцами, а столбцы строками, сохраняя порядок следования элементов, то получим матрицу, которая называется транспонированной. Ее обозначают . . Транспонированная матрица будет иметь размерность . Переход от матрицы A к матрице называется транспонированием матрицы A.

Пример 1. . Тогда .

Пример 2. . .

Свойства транспонирования: 1) . 2) . 3) . 4) .

Лекция 2. Определитель квадратной матрицы.

Квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие число, которое называется определителем (детерминантом). Это число обозначается , или , или .

1.Определитель матрицы первого порядка. Пусть матрица A – матрица первого порядка, т. е. . Тогда .

2. Определитель матрицы второго порядка. Определителем матрицы второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: . Например, Определитель матрицы . .

3. Определитель матрицы третьего порядка . Определителем этой матрицы называется число, которое вычисляется по формуле: . Эту формулу легко запомнить, используя схему, которая называется правилом треугольников (или Сарроса):

произведения элементов, лежащих на главной диагонали и произведения элементов, лежащих в вершинах треугольников, одна сторона которых параллельна главной диагонали, берутся со знаком плюс. Таким образом, имеем три слагаемых: .

произведения элементов, лежащих на дополнительной диагонали и произведения элементов, лежащих в вершинах треугольников, одна сторона которых параллельна дополнительной диагонали, берутся со знаком минус. Три слагаемых со знаком минус: .

Пример. Вычислить определитель матрицы .

Решение. = 

= 30 + 0 - 24 + 6 - 0 + 12 = 24.

Определитель третьего порядка можно вычислить, используя другое правило. Допишем под определителем его первые две строки. Тогда произведения элементов, лежащих на диагоналях, идущих сверху вниз и слева направо берутся со знаком плюс. Произведения элементов, лежащих на диагоналях, идущих снизу вверх и слева направо берутся со знаком минус.

-

-

+

+

+

-