Элементы линейной алгебры (стр. 5 )

Проверка. .

Ответ. .

Пример 2. Найти , если .

Решение. 1) .

2) , , , , , , , , , , , , , , , , , .

3) .

4) .

Проверка. .

Ответ. .

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований (метод Гаусса)

Элементарные преобразования матрицы – это умножение данной матрицы на некоторую матрицу. Продемонстрируем это на примере матрицы третьего порядка.

1)  Перестановка двух строк (2-й и 3-й): .

2)  Умножение элементов некоторой строки на число (второй строки): .

3)  Сложение двух строк (вторую строку заменим суммой второй и третьей строк): .

На использовании этих преобразований основан метод Гаусса вычисления обратной матрицы.

Присоединяем к матрице A справа единичную матрицу I того же порядка. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы, преобразуем матрицу A в единичную матрицу. Тогда справа единичная матрица преобразуется в . Т. е. . Фактически мы умножили слева матрицы A и I на матрицу , т. е. .

Пример. Найти методом Гаусса , если .

Решение. Проверяем, что матрица A невырожденная. . Присоединяем к матрице A справа единичную матрицу и выполняем элементарные преобразования. .

Проверка. .

Ответ. .

Упражнения.

Найти , если:

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8. .

Найти значение выражения.

9. , если .

10. , если .

Лекция 4. Системы линейных уравнений и методы их решения.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнение и n неизвестных, называется выражение вида:

(1)

Здесь числа - коэффициенты системы, i – номер уравнения, i = 1, 2, …, m,

j – номер неизвестного (), j = 1, 2, …, n, , i = 1, 2, …, m – свободные члены.

Систему уравнений (1) можно записать в матричной форме. Для этого введем обозначения: - матрица, составленная из коэффициентов системы. Называется матрицей коэффициентов системы. - матрица-столбец неизвестных. - матрица-столбец свободных членов. Тогда система уравнений (1) запишется в матричном виде .

Если все свободные члены в системе уравнений равны нулю, то такая система называется однородной. В этом случае , где O – матрица-столбец, состоящая из нулей.

Матрица, составленная из коэффициентов системы и присоединенного к ней столбца свободных членов , называется расширенной матрицей коэффициентов системы.

Решением системы называется вектор , где , , …, при подстановке координат которого в систему (1), все уравнения обращаются в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система уравнений называется несовместной, если она не имеет решений.

Система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение.

Система уравнений называется неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же множество решений. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях над строками расширенной матрицы коэффициентов системы.

Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными: