Элементы линейной алгебры (стр. 4 )

Определение. Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Обозначается или .

Пусть A прямоугольная матрица размерности (m x n).Из определения следует:

1) ; 2) .

Пример. Найти ранг матрицы .

Решение. , так как у матрицы A есть элементы отличные от нуля и, порядок матрицы равен 4. Выберем минор второго порядка, например, расположенный в верхнем левом углу матрицы A. . Следовательно, . Будем теперь последовательно вычислять миноры матрицы A третьего порядка, окаймляющие отличный от нуля минор второго порядка. ; ; . Следовательно, . Вычислим единственный минор четвертого порядка , так как вторая и третья строки пропорциональны.

Ответ: .

Такой метод нахождения ранга матрицы называется методом окаймляющих миноров. Он достаточно трудоемкий. Для облегчения этой задачи используются преобразования матрицы, сохраняющие ее ранг.

Элементарными преобразованиями матрицы, не изменяющими ее ранг, являются: 1) Отбрасывание нулевой строки (столбца). 2) Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) на число, не равное нулю. 3) Перестановка двух строк (столбцов). 4) Прибавление к каждому элементу некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число. 5) Транспонирование матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к треугольному или трапециидальному виду. Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы.

Пример. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

Решение. . Имеем три ненулевых строки. Ранг матрицы A равен 3.

Ответ: .

Лекция 3. Обратная матрица.

Пусть дана квадратная матрица n-го порядка .

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Если , то матрица называется вырожденной.

Определение. Матрица называется присоединенной (союзной) матрицей к матрице A, если она составлена из алгебраических дополнений матрицы . Таким образом, , где, напомним, , - минор элемента матрицы A, т. е. это определитель (n – 1)-го порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Пример. Найти матрицу , присоединенную к матрице .

Решение. Ищем миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы A. , , , , , , , , , , , , , , , , , .Записываем присоединенную матрицу .

Определение. Матрица называется обратной матрицей к матрице A, если .

Теорема. Любая невырожденная матрица имеет обратную. Обратная матрица вычисляется по формуле .

Доказательство. Найдем произведения и . Имеем: = ==

. Аналогично проверяется, что . Следовательно, имеем, = . Что и требовалось доказать.

Свойства обратной матрицы.

1) . 2) . 3) . 4) . 5) .

Пример 1. Найти , если .

Решение. 1) Ищем определитель матрицы A. . 2) Ищем алгебраические дополнения элементов матрицы A. , , , , , , . 3) Составляем присоединенную матрицу. . 4) Выписываем обратную матрицу. .