Элементы линейной алгебры (стр. 3 )

Пример. Вычислить определитель матрицы .

-

-

-

+

+

+

Решение. = = =

-1 – 14 – 84 – 7 – 28 + 6 = -128.

Вычисление определителей более высокого порядка основано на вычислении определителей низших порядков. Методы вычисления рассмотрим ниже, после рассмотрения свойств определителей, доказательство которых в общем случае мы опустим. Для определителей второго и третьего порядков справедливость свойств легко проверить, пользуясь правилами вычисления определителей.

Свойства определителей.

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами. .

2. При перестановке двух строк или двух столбцов знак определителя изменится на противоположный.

3. Общий множитель какой-либо строки или какого-либо столбца можно вынести за знак определителя.

4. Если все элементы какого-либо столбца или, какой либо строки равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

6. Если элементы двух строк или двух столбцов пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое число .

Миноры и алгебраические дополнения квадратной матрицы.

Рассмотрим матрицу n-го порядка .

Минором элемента матрицы A называется определитель матрицы n – 1-го порядка, полученный из матрицы A вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Всего у матрицы n-го порядка будет миноров. Например, у матрицы третьего порядка , будет 9 миноров: , , , , , , , , .

Пример. Вычислить минор матрицы .

Решение. .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы A называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма - четное число, и со знаком минус, если эта сумма нечетное число. Алгебраическое дополнение элемента обозначается . Таким образом, . Например, в матрице ,

.

Свойство 8. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. , (разложение определителя по элементам j-го столбца) или , (разложение определителя по элементам i-й строки). Таким образом, вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка

Проиллюстрируем это свойство на примере определителя третьего порядка. =

= = .

Для разложения определителя обычно выбирают ту строку или тот столбец, где больше нулевых элементов, так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

Пример 1. Вычислить определитель .

Решение. Разложим определитель по элементам первого столбца. Имеем: 122.

Пример 2. Вычислить определитель .

Решение. В данном определителя в первой строке на первом месте стоит 1. С помощью первой строки, применяя свойство 7, получим нули в первом столбце. Операции над строками запишем справа от определителя. . Далее разложим полученный определитель по элементам первого столбца. = = 160.

Пример 3. Вычислить определитель матрицы .

Решение. . В полученном определителе элементы третьей и четвертой строк пропорциональны, следовательно, определитель равен нулю (свойство 4). .

Свойство 9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. , или , .

Для определителя третьего порядка имеем , , … (Проверить самостоятельно).

Ранг матрицы.

Рассмотрим матрицу . Выделим в матрице A какие-либо k строк и k столбцов . Определитель , составленный из элементов матрицы A, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов называется минором ­k­-го порядка данной матрицы A.