Элементы линейной алгебры (стр. 1 )

Элементы линейной алгебры

Лекция 1. Матрицы и операции над ними.

Матрицей размерности m ´ n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Матрицы обычно обозначаются прописными буквами латинского алфавита A, B, C, …

или - матрица размерности m ´ n. Здесь - элемент матрицы A. i – номер строки (i = 1, 2, 3, …, m), j – номер столбца (j = 1, 2, 3, …, n). m ´ n – размерность матрицы.

Например, матрицу A размерности 3 ´ 2 можно записать следующим образом: или . Наряду с круглыми скобками используют и другие скобки: или . Например .

Две матрицы A и B равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и равны их соответствующие элементы.

.

Матрица A называется квадратной, если число строк равно числу столбцов, т. е. имеет размерность n ´ n. В этом случае говорят, что матрица A имеет порядок n (или n-го порядка). Например - матрица второго порядка.

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ матрицы. Например, в матрице элементы 2, 6, 11 образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, - диагональная матрица третьего порядка.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Единичная матрица обычно обозначается буквой E или I. Например, - единичная матрица второго порядка; - единичная матрица третьего порядка.

Матрица любой размерности, у которой все ее элементы равны нулю, называется нулевой матрицей или нуль матрицей. Нуль матрицу обозначают O. Например, - нуль матрица размерности m ´ n.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется матрица-столбец (вектор-столбец) или матрица-строка (вектор-строка). Например, - матрица-столбец, - матрица-строка.

Операции над матрицами.

1. Умножение матрицы на число. Результатом умножения матрицы на число является матрица, каждый элемент которой умножен на это число. , где . Например, .

Из определения следует, что .

2. Сложение двух матриц. Складывать можно только матрицы одной размерности. Результатом сложения двух матриц будет матрица, каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов слагаемых. , где .

Свойства.

- переместительное свойство.

- сочетательное свойство.

Пример. .

3. Вычитание матриц. , где .

Пример. , . .

4. Умножение матриц. Произведением матрицы на матрицу называется матрица (), каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B (скалярному произведению i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B).

, .

Матрицы можно перемножать, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. У произведения строк будет столько, сколько строк у первого сомножителя, а столбцов – сколько столбцов у второго сомножителя. Например, , где , , , , , .

Пример 1. Вычислить , если , .

Решение. Размерность матрицы произведения:. Элементы матрицы C: , , , , , . Таким образом, .

Пример 2. Вычислить , если , .

Решение. .

Пример 3. Вычислить и , если , .

Решение. . .