Элементы линейной алгебры (стр. 6 )

Матрица коэффициентов системы . Определитель называется главным определителем системы. В матричном виде система записывается .

Найдем решение данной системы, в случае .

Умножим обе части уравнения слева на . Получим . Так как и , то . Таким образом, задача свелась к нахождению обратной матрицы коэффициентов системы.

Метод обратной матрицы можно применять для решения матричных уравнений, когда A, B, X, Y –матрицы соответствующей размерности: ; .

Пример. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.

Решение. Введем обозначения - матрица коэффициентов системы. - матрица-столбец неизвестных. - матрица-столбец свободных членов. Исходная система в матричной форме будет иметь вид . Ее решение . Будем искать .

. Матрица A невырожденная. Следовательно, обратная матрица существует. Найдем методом Гаусса. . . .

Проверка. 3 +3 + 1 = 7, 7 = 7 – верно.

Ответ. (1, -1, 1).

Формулы Крамера.

Дана система n линейных уравнений с n неизвестными . Ее решение . Распишем эту формулу поэлементно:

. Обозначим:

, ,

………………………………………….

- дополнительные определители. Определитель получаются из главного определителя заменой i-го столбца на столбец свободных членов B.

Тогда . Таким образом, получаем формулы Крамера:

, , …, , …, .

Исследование системы уравнений, с использованием определителей.

1.  Если , то система имеет единственное решение.

2.  Если и хотя бы один из дополнительных определителей , то система несовместна.

3.  Если и все , то система имеет бесконечно много решений. Смысл выражения «бесконечно много решений» мы поймем после рассмотрения метода Гаусса.

Пример 1. Решить систему

Решение. Вычисляем главный определитель и дополнительные определители: , . По формулам Крамера имеем: , .

Ответ. (2, -1).

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычисляем определители: , , , .

, , .

Ответ. (-1, -1, 0).

Метод Гаусса.

Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

В матричном виде эта система запишется .

Расширенная матрица системы

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных, используя свойства уравнений: перестановка уравнений; умножение левой и правой частей уравнения на число, не равное нулю; прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число. В результате таких преобразований получается система эквивалентная исходной.

Могут возникнуть следующие строки:

1. Одно из уравнений примет вид: . Это противоречивое уравнение. В этом случае система не имеет решений.

2. Одно из уравнений примет вид: . Его можно отбросить и продолжить процесс преобразований.

Обычно преобразовывают расширенную матрицу коэффициентов системы, приводя ее к треугольному или диагональному виду.

Если в результате преобразований, на месте матрицы коэффициентов, мы получаем единичную матрицу, то на месте свободных членов получается решение исходной системы уравнений. Т. е. выполняется . В этом случае решение системы есть матрица-столбец .

Если в результате преобразований возникнет строка, где на месте коэффициентов стоят нули, а на месте свободного члена – число, отличное от нуля, то система не имеет решений.

В противном случае расширенная матрица коэффициентов преобразуется к виду:

, где - невырожденная матрица порядка r (после преобразований расширенной матрицы коэффициентов осталось r ненулевых строк, r<n), - матрица размерности и - преобразованный столбец свободных членов. Система уравнений в матричной записи примет вид: . Здесь - матрица-столбец из r неизвестных, соответствующих матрице , - матрица-столбец из n-r оставшихся неизвестных. Назовем базисными неизвестными, а - свободными. Перенесем в правую часть уравнения. Тогда имеем . Отсюда . Давая свободным неизвестным произвольные значения, получим общее решение исходной системы уравнений.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. . Таким образом, .

Ответ. (1, 1, 1).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. . Последняя строка на месте коэффициентов содержит нули, а на месте свободного члена – единицу.

Ответ. Система несовместна.

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение. . Пусть , тогда . Имеем . Отсюда . Давая свободным неизвестным и произвольные значения , получаем: , .

Ответ. , .