Математика (стр. 7 )

26.  Основные правила дифференцирования (одно с доказательством)

27.  Производные обратной и сложной функции. Производная параметрически заданной функции.

28.  Производные основных элементарных функций (одну доказать).

29.  29. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл. Свойства дифференциала.

30.  Приближенные вычисления при помощи дифференциалов. Дифференциалы высших порядков.

31.  Основные теоремы дифференциального исчисления, их геометрический смысл, (одну теорему доказать).

32.  Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей 0, с помощью правила Лопиталя.

33.  Возрастание, убывание функции. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции.

34.  Выпуклость, вогнутость, точки перегиба функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости, вогнутости функции, существования точки перегиба.

35.  Асимптоты функции, их классификация.

36.  Понятие функции двух переменных. График, область определения, линии уровня. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции двух переменных. Свойства функций, непрерывных в области.

Частные производные функции двух переменных, геометрический смысл.

38.  Дифференцируемость функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции.

39.  Дифференцирование сложной функции нескольких переменных (одну теорему доказать)

40.  Частные производные второго порядка. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциал второго порядка для функции z=f(x, у) с выводом.

41.  Неявная функция одной и двух переменных. Дифференцирование функции заданной неявным образом.

42.  Производная по направлению. Теорема о вычислении производной по направлению (с доказательством).

43.  Градиент функции, его свойства (одно с доказательством).

44.  Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума функции двух переменных.

Вопросы к зачету 1 курс

1.  Понятие первообразной функции. Теорема(с доказательством). Неопределенный интеграл, геометрический смысл.

2.  Свойства неопределенного интеграла (одно с доказательством).

3.  Таблица неопределенных интегралов (одну формулу с доказательством).

4.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (вывод).

5.  Метод замены переменной в неопределенном интеграле (вывод).

6.  Интегрирование рациональной функции.

7.  Интегрирование иррациональных функций (I, II, III типа).

8.  Интегрирование тригонометрических функций.

9.  Площадь криволинейной трапеции.

10.  Определенный интеграл, его свойства.

11.  Определенный интеграл с переменным верхним пределом (теорема с доказательством).

12.  Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

13.  Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

14.  Приближенные вычисления определенного интеграла.

15.  Вычисление площади плоской фигуры. Вычисление длины дуги кривой.

16.  Вычисление объема тела вращения. Вычисление площади поверхности тела вращения.

17. Физические приложения определенного интеграла. Теорема Гульдена.

18.  Вычисление работы переменной силы с помощью определенного интеграла.

19.  Понятие двойного интеграла, геометрический смысл.

20.  Свойства двойного интеграла.

21.  Вычисление двойного интеграла (оба случая).

22.  замена переменных двойном интеграле.

23.  Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

24.  работа переменной силы вдоль криволинейного пути.

25.  Криволинейный интеграл, его свойства.

26.  Вычисление криволинейного интеграла.

27.  Формула Грина (с доказательством)

28.  Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования (теорему 2 с доказательством).

29.  Тройной интеграл, вычисление тройного интеграла.

30.  Замена переменных в тройном интеграле.

31.  Поверхностный интеграл, его вычисление.

32.  Формула Остроградского-Гаусса.

Вопросы к экзамену 2 курса

1.  Общие понятия ДУ n-го порядка. ДУ 1-го порядка. Общее решение, частные решения. Теорема Коши.

2.  ДУ с разделяющимися переменными. Две формы записи. Метод решений.

3.  Понятие однородной функции n-го измерения. Однородные ДУ 1-го порядка. Метод решения.

4.  Линейные ДУ 1-го порядка. Методы решения линейных уравнений 1-го порядка.

5.  ДУ в полных дифференциалах. Метод решения.

6.  ДУ 2-го порядка. Общее решение ДУ 2-гопорядка. Понижение порядка (3 случая).

7.  Свойства частных решений линейного однородного ДУ 2-го порядка (одно с доказательством).

8.  Линейная зависимость функций. Теорема о необходимых и достаточных условиях линейной зависимости функций (с доказательством). Следствие.

9.  Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ 2-гопорядка.

10.  Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения (с доказательством).

11.  Метод вариации произвольной постоянной как метод нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ 2-го порядка.

12.  Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Теорема о структуре общего решения (1 и 2 случай с доказательством).

13.  Линейные однородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения (3 случай с доказательством).

14.  Линейные неоднородные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения. Нахождение частного решения методом неопределенных коэффициентов.

15.  Понятие числового ряда. Сходимость ряда. Геометрический ряд, его сходимость (с доказательством)

16.  Необходимый признак сходимости рядов. Следствие. Свойства сходящихся рядов. Гармонический ряд. Расходимость гармонического ряда (с выводом).

17.  Ряды с положительными членами. Критерий сходимости положительных рядов (с доказательством).

18.  Признаки сравнения (с доказательством).

19.  Признак Даламбера (с доказательством).

20.  Признак Коши (с доказательством).

21.  Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница (с доказательством).

22.  Абсолютная и условная сходимость. Теорема (с доказательством).

23.  Понятие функционального ряда, его сходимость. Равномерная сходимость функциональных рядов. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

24.  Степенной ряд. Теорема Абеля (с доказательством).

25.  Понятие радиуса, интервала сходимости. Формула Коши-Адамара (с доказательством). Замечания 1-3.

26.  Разложение функций в степенной ряд. Единственность разложения (с оказательством). \

27.  Ряд Тейлора. Необходимые и достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложения элементарных функций у = ех, у = cosx, у = sinx, у = (1 + х)т, у =1 + х, у=1п(1 + х) в ряд Тейлора, (одно разложение с доказательством). Применение рядов в приближенных вычислениях.

28.  Случайные события и их виды. Операции над событиями.

29.  Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

30.  Понятие вероятности. Классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности.

31.  Теорема сложения и умножения вероятностей.

32.  Полная вероятность. Формула Бейеса.

33.  Биномиальный закон распределения вероятностей.

34.  Наивероятнейшее число наступления события. Теорема Бернулли.

35.  Случайная величина. Дискретная случайная величина и ее характеристики (закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и их свойства).

36.  Непрерывная случайная величина и ее характеристики (функция плотности вероятности, функция распределения вероятности, математическое ожидание и дисперсия).

V. Терминологический минимум

1. Основные термины и понятия курса

1.  Число А называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такой номер N (зависящий от ε), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство . .

2.  Производной функцией у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю. (Если этот предел существует) .

3.  Асимптотой кривой называется такая прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.

4.  Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка F/(x)= f(x). Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где – знак интеграла, f(x) – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение. Таким образом, , где F(x) – некоторая первообразная для f(x), С – произвольная постоянная.

5.  Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.