Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны (стр. 5 )

Согласно закону Фарадея, э. д.с. индукции εi в контуре прямо пропорциональна скорости изменения во времени t магнитного потока Φ через поверхность S, ограниченную контуром:

(4.1)

Знак минус определяет направление индукционного тока в соответствии с правилом Ленца, которое является следствием закона сохранения энергии. Согласно правилу Ленца индукционный ток в контуре направлен так, что создаваемый им поток магнитной индукции через поверхность, ограниченную контуром, стремится препятствовать тому изменению потока, которое вызывает данный ток.

В постоянном магнитном поле э. д.с. индукции возникает лишь в том случае, когда магнитный поток через ограниченную контуром поверхность изменяется во времени, т. е. контур при движении должен пересекать линии магнитной индукции (при движении вдоль линий ΔΦ = 0 э. д.с. не возникает).

Э. д.с. индукции равна работе по перемещению единичного заряда вдоль замкнутого контура, совершаемой силами вихревого электрического поля, которое согласно уравнениям Максвелла, порождается в пространстве при изменении магнитного поля со временем.

Электродвижущая сила индукции εi, возникающая в рамке, содержащей N витков площадью S, при вращении рамки с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле с индукцией определяется уравнением где ωt – мгновенное значение угла между вектором и вектором нормали к плоскости рамки.	(4.2)
Потокосцепление рамки с током ψ где N – число витков.	ψ = NΦ, (4.3)
Количество электричества q, протекающего в контуре при изменении потокосцепления, пронизывающего все витки контура на величину Δψ где R – сопротивление контура.	(4.4)

Явление самоиндукции является частным случаем электромагнитной индукции и заключается в возникновении э. д.с. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока. Направление э. д.с. самоиндукции определяется правилом Ленца, т. е. при увеличении силы тока э. д.с. самоиндукции препятствует его возрастанию, а при уменьшении силы тока – его убыванию. Явление самоиндукции подобно явлению инерции в механике.

Э. д.с. индукции пропорциональна скорости изменения силы тока в цепи и индуктивности цепи L.	(4.5)
Индуктивностью замкнутого проводящего контура называется скалярная величина L где ψс – потокосцепление самоиндукции.	, (4.6)
Индуктивность длинного соленоида и тонкого тороида где V – объем соленоида (тороида), – число витков на единицу длины соленоида. Для тороида где rср – радиус средней линии тороида.	, (4.7) , (4.8)
В электрической цепи, содержащей постоянную э. д.с., при замыкании цепи сила тока за счет э. д.с. самоиндукции устанавливается не мгновенно, а через некоторый промежуток времени; при выключении цепи ток не прекращается мгновенно. Возникающая при размыкании цепи э. д.с. самоиндукции может во много раз превышать э. д.с. источника.
При включении в цепь источника э. д.с. сила тока в цепи изменяется по закону где R – сопротивление цепи, ε – э. д.с. источника тока, t – время, прошедшее после замыкания (t0 = 0, I0 = 0), I – сила тока в момент времени t. Нарастание тока тем быстрее, чем больше отношение (рис. 4.1).	, (4.9)
Рис. 4.1.
При выключении источника э. д.с. ε = 0 закон изменения силы тока имеет вид	, (4.10)
Сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения I0 до нуля (рис. 4.2), тем быстрее, чем больше сопротивление цепи R и чем меньше ее индуктивность L .
Рис. 4.2.
Явление взаимной индукции заключается в наведении э. д.с. индукции во всех проводниках, находящихся вблизи цепи переменного тока где М21 – взаимная индуктивность, ε21 – э. д.с. во втором контуре, I1 – сила тока в первом контуре.	(4.11)
Для неферромагнитной среды	М12 = М21 . (4.12)
Для ферромагнитной среды М21 ≠ М12, взаимная индуктивность зависит не только от геометрической формы и расположения контуров, но и от силы токов в них.
Энергия магнитного поля контура с током	. (4.13)
Объемная плотность энергии магнитного поля	. (4.14)

5. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

Уравнения Максвелла – это фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме). Уравнения Максвелла сформулированы в 60х гг. 19 века на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений и развития идей М. Фарадея о том, что взаимодействие между электрически заряженными телами осуществляется посредством электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла связывают величины, характеризующие электромагнитное поле с его источниками, т. е. распределением в пространстве электрических зарядов и токов. В вакууме электромагнитное поле характеризуется напряженностью электрического поля и магнитной индукцией зависящими от пространственных координат и времени. Для описания электромагнитных свойств в среде вводится электростатическая индукция и напряженность магнитного поля . Для определения векторов , , , должны быть известны плотность заряда ρ, и плотность электрического тока .

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона Био-Савара о возбуждении магнитного поля электрическими токами где − плотность полного тока, равная геометрической сумме плотностей макротока и тока смещения	, (5.1) . (5.2)
Плотность тока смещения в данной точке пространства равна скорости изменения вектора электрического смещения в данной точке	. (5.3)
Первое уравнение Максвелла в интегральной форме:	(5.4)
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по проволочному неподвижному замкнутому контуру L, равна алгебраической сумме макротоков и токов смещения сквозь поверхность ограниченную контуром. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме	. (5.5)
Второе уравнение Максвелла является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея:	. (5.6)
Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (э. д.с. индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Уравнение Максвелла в дифференциальной форме	. (5.7)
Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов аналогично электрическим (магнитное поле порождается только электрическими токами), т. е. поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.	(5.8) . (5.9)
Четвертое уравнение Максвелла (теорема Гаусса) – это обобщение закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов, т. е. поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри данной поверхности где ρ – объемная плотность заряда.	(5.10) , (5.11)
Для изотропных сред где γ – удельная электропроводность сред.	(5.12)

Электромагнитные колебания и волны