Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны (стр. 7 )

Из уравнений Максвелла следует, что для однородной и изотропной среды векторы напряженностей и переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению:

, , (9.1)

где − оператор Лапласа,

– фазовая скорость.

(9.2)

где , ε0 и μ0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные, ε и μ – соответственно электрическая и магнитная проницаемость среды.

В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света с (с = 3·108 м/с). Скорость распространения электромагнитных волн в веществе меньше чем в вакууме (εμ > 1).

Из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны являются поперечными: векторы и напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной вектору скорости распространения волны. Векторы , и образуют правовинтовую систему (рис. 9.1).

Рис. 9.1.

Векторы и колеблются в одинаковых фазах, мгновенные значения E и H связаны соотношением

. (9.3)

E и H одновременно достигают максимума, одновременно обращаются в нуль. Следовательно, от уравнения (9.1) можно перейти к уравнениям

, . (9.4)

Частным решением уравнения (9.4) являются плоские монохроматические электромагнитные волны одной частоты

, (9.5)

, (9.6)

где E0 и H0 – соответственно амплитуда напряженностей электрического и магнитного полей волны, ω – циклическая частота волны, − волновое число, φ – начальные фазы колебаний.

Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей we и wm электрического и магнитного полей:

. (9.7)

Плотности энергии электрического и магнитного полей в каждый момент одинаковы (we = wm), следовательно

. (9.8)

Модуль плотности потока энергии:

(9.9)

Вектор плотности потока электромагнитной энергии – вектор Умова-Пойтинга:

. (9.10)

Вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную распространению волны.

Теория Максвелла доказывает существование давления электромагнитных волн. Русский физик – экспериментатор в 1899г. экспериментально доказал существование давления электромагнитных волн на твердые тела, а в 1907г. – на газы, что явилось прямым подтверждением электромагнитной теории Максвелла.

Естественное радиационное давление излучения Солнца составляет 10−10 от атмосферного давления, но длительное воздействие радиационного давления на большую площадь солнечных батарей искусственных спутников Земли приводит к преждевременному сходу спутников с орбит и падению их на Землю.

Импульс электромагнитного поля

и , (9.11)

где W – энергия электромагнитного поля,

. (9.12)

Соотношение между массой и энергией электромагнитного поля (9.12) является универсальным законом природы.

Примеры решения задач

Пример 1.

По квадратной рамке со стороной а = 0,2 м течет ток I = 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре рамки (μ = 1).

Решение:

Магнитное поле в центре рамки (рис. П1) создается каждой из его сторон и направлено в одну сторону нормально плоскости рамки. Следовательно по принципу суперпозиции полей

,

где – напряженность поля, создаваемого отрезком проводника с током I длиной а, модуль которой определяется по формуле (согласно (1.1), (1.5)):

,

где − расстояние от проводника до точки поля. По условию задачи α1 = 45º; α2 = 135º.

Рис. П1. Тогда ;

А/м.

Индукция магнитного поля В и напряженность связаны соотношением В = μ μ0Н:

В = 1 · 12,56·10-7 ·18 = 2,26·10-5 Тл.

Ответ: Н = 18 А/м; В = 2,26·10-5 Тл.

Пример 2.

По бесконечно длинному прямому проводнику, изогнутому так, как это показано на рис. П2а, течет ток I = 100 А. Вычислить магнитную индукцию в точке О, если R = 10 см (μ = 1).

Решение:

По принципу суперпозиции полей:

(рис. П2b), где − индукция магнитного поля, созданного участками проводника AB, BC и CD.

По закону Био-Савара-Лапласа:

, , (см. 1.2, 1.3).

, .

, (рис. П2с).

Следовательно,

.

;

.

Рис. П2.

.

Тл.

Ответ: В = 3,56 · 10-4 Тл.

Пример 3.

Бесконечно длинный провод (рис. П3) образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу идет ток I = 5 А. Найти радиус витка, если напряженность магнитного поля в центре витка Н = 41 А/м.

Решение:

По принципу суперпозиции полей Используя (1.1), (1.4), (1.6), получим: