Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны (стр. 8 )

Н = Н1 + Н2 (рис. П3),

где – напряженность магнитного поля прямого тока,

– напряженность магнитного поля кругового тока.

,

Рис. П3.

.

Ответ: R = 8 см.

Пример 4.

Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью V0 = 107 м/с. Длина конденсатора l = 5см. Напряженность электрического поля конденсатора Е = 10 кВ/м. При вылете из конденсатора электрон попадает в магнитное поле, перпендикулярное электрическому полю. Индукция магнитного поля В = 10 мТл. Найти радиус R и шаг винтовой траектории. Удельный заряд электрона .

Решение:

Электрон в электростатическом поле проходит разность потенциалов и попадает в магнитное поле со скоростью под углом φ к направлению вектора магнитной индукции . Траектория движения электрона в магнитном поле с постоянным вектором − винтовая линия с постоянным радиусом R и шагом винта h.

Рис. П4.

Определим скорость электрона на выходе из конденсатора (рис. П4):

где − ускорение движения электрона в конденсаторе;

t – время движения электрона в конденсаторе .

В магнитном поле на движущуюся частицу действует сила Лоренца из формулы (2.3).

Сила Лоренца сообщает частице центростремительное ускорение. В проекции на ось y: , где φ – угол между векторами и .

;

Подставляя числовые значения, получим:

Шаг винтовой линии h вдоль оси x за время одного полного оборота

из (2.6),

где Т – период обращения электрона. .

Ответ: R = 5·10−3 м; h = 3,36·10−2 м.

Пример 5.

На соленоид длиной l = 1,5 м и диаметром D = 5 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет N = 2000 витков, по ней течет ток I = 2 А. Соленоид имеет железный сердечник. Определить среднюю э. д.с. εср, которая индуцируется в надетом на соленоид витке, если ток в соленоиде выключается в течение t = 2 мс?

Решение:

Основной закон электромагнитной индукции

, ,

где ψ – потокосцепление,

εi – электродвижущая сила индукции,

L – индуктивность контура,

Φ – магнитный поток соленоида, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром.

Электродвижущая сила взаимной индукции (4.14) или , где М12 – коэффициент взаимной индукции.

, где S – площадь витка .

N1 = 1, N2 = N, t0 = 0, Δt = t, ΔI = I.

Напряженность поля созданного соленоидом определяется согласно выражениям (1.1) и (1.8).

; А/м.

По графику зависимости В = f(H) на рис. П5 находим индукцию ферромагнитного сердечника В = 1,6 Тл (В − вектор магнитной индукции соленоида). ; .

(знак «−» опущен, т. к. в данном случае направление э. д.с. несущественно).

В.

Ответ: εср = 1,567 В.

Пример 6.

Имеется катушка индуктивности длиной l = 20 см и диаметром D = 2 см и числом витков N = 200 медной проволоки, площадь поперечного сечения которой S = 1 мм2. Катушка включена в цепь с некоторой э. д.с. При помощи переключателя э. д.с. выключается, и катушка замыкается накоротко. Через какое время t после выключения э. д.с. ток в цепи уменьшается в 2 раза.

Решение:

При выключении источника э. д.с. сила тока в цепи постепенно уменьшается от начального значения I0 до нуля.

Сила тока при выключении цепи изменяется по закону (4.10)

,

где I0 – сила тока в момент времени t0 = 0,

I – сила тока в момент времени t,

R – сопротивление цепи,

L – индуктивность цепи.

; ; .

Сопротивление медной проволоки , где ρ = 1,7·10-8Ом·м – удельное сопротивление меди.

Индуктивность катушки , где μ = 1 для неферромагнитной среды, − число витков на единицу длины соленоида, Гн/м, − площадь витка катушки.

.

мс.

Ответ: t = 0,25 мс.

Пример 7.

По обмотке тороида течет ток I = 0,6 А. Витки провода диаметром d = 0,4 мм плотно прилегают друг к другу. Найти энергию W магнитного поля в стальном сердечнике тороида, если площадь сечения его S = 4 см2, диаметр средней линии D = 30 см.

Решение:

Энергия магнитного поля тороида W распределена равномерно по всему объему V тороида.

Объемная плотность энергии

(4.14),

где B − индукция магнитного поля тороида,

H − напряженность магнитного поля.

Рис. П5.

Следовательно, энергия магнитного поля , где V = l·S, где l – длина средней линии тороида, V – объем тороида.

Напряженность магнитного поля внутри тороида H = I·n, где n – число витков на единицу длины.

А/м.

По графику зависимости B = f(H) (рис. П5) находим индукцию магнитного поля тороида В = 1,2 Тл.

Энергия магнитного поля тороида:

Дж.

Ответ: W = 0,339 Дж.

Пример 8.

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,2 мкФ и катушки индуктивности L = 5,07 мГн. При каком логарифмическом декременте затухания δ разность потенциалов на обкладках конденсатора за время t = 1 мс уменьшается в три раза? Определить сопротивление контура R при этих характеристиках колебательного контура.