Электромагнетизм. Электромагнитные колебания и волны (стр. 6 )

6. Свободные гармонические колебания в электрическом

колебательном контуре без активного сопротивления

Колебательным контуром называется электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С и соединенной с ним последовательно катушки индуктивности L. При замыкании на катушку заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда в конденсаторе и тока в катушке. Свободные электрические колебания являются гармоническими, если его электрическое сопротивление R = 0.
В колебательном контуре происходит периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля и наоборот (рис. 6.1). Полная энергия W = (We + Wm) не изменяется с течением времени (6.1).	(6.1)
Рис. 6.1.
Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падение напряжения на емкости и на индуктивности в сумме должны давать ноль . Т. к. получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний где ω0 – собственная частота колебательного контура	, (6.2) . (6.3)
Решение уравнения (6.2) имеет вид где qm – амплитудное значение заряда конденсатора, φ0 – начальная фаза колебаний заряда конденсатора.	, (6.4)
Следовательно, заряд на пластинках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0. Период колебаний определяется по формуле Томсона	(6.5)
Напряжение на конденсаторе и сила тока в катушке определяется по законам: , (6.6) где − амплитуда напряжения на конденсаторе. , (6.7) где − амплитуда силы тока. (6.8) Соотношение (6.8) по форме подобно закону Ома для пассивного участка цепи постоянного тока, поэтому величину называют волновым сопротивлением колебательного контура.

7. Свободные затухающие колебания

в колебательном контуре

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают, т. к. реальный контур обладает активным сопротивлением R отличным от нуля. Энергия запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание.

Уравнение затухающих колебаний можно получить исходя из того, что сумма падения напряжения на емкости , на индуктивности и на сопротивлении UR = I·R колебательного контура равна нулю.

(7.1)

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в колебательном контуре имеет вид:

, (7.2)

или

, (7.3)

где β – коэффициент затухания колебательного контура При условии, что β2 < ω02, т. е. решение уравнения (7.2) имеет вид	. (7.4)
, (7.5)
где , т. е.	(7.6)
Таким образом, частота затухающих колебаний ω меньше частоты собственных колебаний ω0. При R = 0 выражение (7.6) переходит в выражение (6.3).

Напряжение на конденсаторе определяется по закону

, (7.7)

где .

Дифференцируя выражение (7.7) получим выражение для силы тока в колебательном контуре:

, (7.8)

где .

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на π/2 (при R = 0 опережение составляет π/2).

График функции (7.5) изображен на рис. 7.1.

Рис. 7.1.

Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Затухающие колебания не являются периодическими, т. к. максимальное значение колеблющейся величины никогда не повторяется.

Условный период затухающих колебаний

. (7.9)

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

(7.10)

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина δ равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды колебаний соответствующей величины (q, U или I) в моменты времени t и (t+T) (T – условный период).

, (7.11)

где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

8. Вынужденные электромагнитные колебания

Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре в него нужно включить источник энергии, э. д.с. которого изменяется с течением времени, или подать переменное напряжение .

Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в колебательном контуре будет иметь вид:

. (8.1)

Частное решение этого уравнения

, (8.2)

где ; .

Напряжение на конденсаторе

, (8.3)

где . (8.4)

Сила тока в контуре

. (8.5)

Амплитуда тока имеет значение

. (8.6)

При совпадении частоты вынужденных колебаний ω с частотой собственных колебаний колебательного контура ω0 в цепи наступает явление резонанса. Резонансные кривые представлены на рис. 8.1.

Рис. 8.1.

Амплитуда силы тока имеет максимальное значение при	. (8.7)
Максимум резонансной кривой тем выше и острее, чем меньше т. е. чем меньше активное сопротивление R и больше индуктивность контура L.	, (8.8)

9. Электромагнитные волны

Электромагнитными волнами называется переменное электромагнитное поле распространяющееся в пространстве. Доказательство существования электромагнитных волн является одним из важнейших следствий уравнений Максвелла (раздел 5).