Алгебра (стр. 2 )

13) ; ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , ;

18) , .

Задача 3. Пусть , , . Докажите справедливость утверждений:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Задача 4. Задать несколько отображений множества в множество . Какие из них являются сюръективными? Существует ли инъективное отображение множества X в множество Y?

Задача 5. Сколько существует отображений m-элементного множества X в n-элементное множество Y При каком соответствии между m и n существует инъективное (биективное, сюръективное) отображение и сколько таких отображений существует?

Задача 6. Докажите, что преобразование конечного множества инъективно тогда и только тогда, когда оно сюръективно.

Задача 7. Найдите , если:

1) , и , ;

2) , и , .

Задача 8. Найдите , если:

1) – проектирование плоскости на ось Ox параллельно оси Oy, – проектирование плоскости на ось Oy параллельно оси Ox;

2) – симметрия плоскости относительно оси Ox параллельно оси Oy, – симметрия плоскости относительно оси Oy;

3) – проектирование плоскости на ось Ox параллельно оси Oy, – симметрия плоскости относительно оси Ox.

Задача 9. Пусть , – отображения. Доказать:

1) если и инъективны, то инъективно;

2) если и сюръективны, то сюръективно;

3) если и биективны, то биективно;

4) если инъективно, то инъективно;

5) если сюръективно, то сюръективно.

Задача 10. Если – преобразование конечного множества, то следующие условия эквивалентны:

1) инъективно; 2) сюръективно; 3) биективно.

Задача 11. Доказать, что существует биективное отображение: 1) множества Z в N; 2) множества Q в N; 3) множества (0,1) в R.

Задача 12. Доказать, что, если , – обратимые отображения, то – обратимое отображение и .

3. Бинарные отношения.

Задача 1. Найти и . Чему равно число элементов ?

1) , ;

2) , ;

3) , .

Задача 2. Построить на декартовой плоскости следующие множества:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

Задача 3. Для произвольных множеств доказать:

1) ;

2) ;

3) .

Задача 4. Доказать, что для произвольных множеств справедливо равенство: . Справедливо ли аналогичное равенство для объединения множеств: ?