Алгебра (стр. 5 )

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 8) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) .

Задача 2. Какие операции являются алгебраическими на множестве ? Какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Задача 3. Какие операции являются алгебраическими на данном множестве? Какие из алгебраических операций коммутативны, ассоциативны?

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , .

Задача 4. Является ли множество со следующими операциями полугруппой:

1) ; 2) ; 3) ?

Задача 5. Является ли множество с операцией умножением полугруппой?

Задача 6. Является ли множество всех нечетных функций, определенных на , с операцией композиции преобразований полугруппой?

Задача 7. Пусть – семейство всех подмножеств непустого множества . Образует ли множество с операцией разностью подмножеств полугруппу?

Задача 8. Являются ли полугруппами следующие множества относительно указанных операций:

1) , операция "сложение"; 2) , операция "сложение"; 3) , операция "сложение"; 4) , операция "вычитание"; 5) , операция "сложение"; 6) , операция "умножение"; 7) , операция "умножение"; 8) , операция "умножение"?

Задача 9. Доказать, что в аддитивной полугруппе для любых :

, .

Задача 10. Если – обратимые элементы полугруппы, то – обратимый элемент, причем .

8. Группы

Задача 1. Является ли группой множество целых чисел относительно сложения, умножения, вычитания?

Задача 2. Является ли группой 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) множество чисел вида , где , относительно операции сложения; 9) множество чисел вида , где , относительно операции сложения?

Задача 3. Является ли группой : 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) множество относительно операции умножения; 10) множество относительно операции умножения; 11) множество относительно операции умножения; 12) множество корней n–ой степени из 1 относительно операции умножения?

Задача 4. Является ли группой данное множество относительно операции "+" или " ":

1) ;

2) ;

3) ?

Задача 5. Пусть G – группа, a,bG – обратимые элементы. Доказать, что уравнение имеет единственное решение в группе G?

Задача 6. Доказать, что множество всех взаимно однозначных отображений непустого множества на себя с операцией композицией преобразований является группой. Является ли эта группа абелевой?